Problema 354

Determina la función f:~(1,+\infty)\rightarrow\mathbb R sabiendo que f''(x)=\dfrac 1{(x-1)^2} y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2 es y=x+2.


Solución:

Calculamos f´integrando f´´:

\displaystyle f'(x)=\int \frac 1{(x-1)^2}~dx=\int (x-1)^{-2}~dx=\dfrac{(x-1)^{-1}}{-1}+k_1=\dfrac{-1}{x-1}+k_1

Calculamos f integrando f´:

\displaystyle f(x)=\int \frac{-1}{x-1}+k_1~dx=-\ln(x-1)+k_1x+k_0

Dice que cuando x=2, la recta tangente tiene por ecuación y=x+2. Esto significa:

  • f(2)=2+2=4 por ser el punto de tangencia un punto común entre f y la recta tangente.
  • f'(2)=1 por ser la pendiente de la recta tangente igual que el valor de la derivada de f en el punto de tangencia.

Con estas dos ecuaciones podemos calcular k_1 y k_2:

f'(2)=\dfrac{-1}{2-1}+k_1=1\longrightarrow\mathbf{k_1=2}

f(2)=-\ln(2-1)+2\cdot 2+k_0=4\longrightarrow\mathbf{k_0=0}

Luego la función f buscada es:

f(x)=-\ln(x-1)+2x

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