Problema 354

Determina la función $f:~(1,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ sabiendo que $f''(x)=\dfrac 1{(x-1)^2}$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2 es $y=x+2$ .

Solución:

Calculamos f´integrando f´´:

$\displaystyle f'(x)=\int \frac 1{(x-1)^2}~dx=\int (x-1)^{-2}~dx=\dfrac{(x-1)^{-1}}{-1}+k_1=\dfrac{-1}{x-1}+k_1$

Calculamos f integrando f´:

$\displaystyle f(x)=\int \frac{-1}{x-1}+k_1~dx=-\ln(x-1)+k_1x+k_0$

Dice que cuando x=2, la recta tangente tiene por ecuación $y=x+2$ . Esto significa:

$f(2)=2+2=4$ por ser el punto de tangencia un punto común entre f y la recta tangente.
$f'(2)=1$ por ser la pendiente de la recta tangente igual que el valor de la derivada de f en el punto de tangencia.