Problema 355

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}1&1&2\end{pmatrix}

a) Calcula A^{2018}.

b) Determina, si existe, la matriz X que verifica A(X+2I)=BC donde I es la matriz identidad.


Solución:

a) Empezamos calculando potencias sucesivas:

A^2=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&2&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

A^4=A^3A=\begin{pmatrix}1&3&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4&4\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Parece ser que A^n=\begin{pmatrix}1&n&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}. Veamos cuanto es A^{n+1}:

A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix}1&n&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&n+1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Luego en efecto es A^n=\begin{pmatrix}1&n&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Calculamos la potencia que nos piden:

A^{2018}=\begin{pmatrix}1&2018&2018\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}


b) Despejamos la matriz X de la ecuación matricial:

A(X+2I)=BC~;\\\\X+2I=A^{-1}BC~;\\\\X=A^{-1}BC-2I

Calculamos las matrices necesarias:

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

BC=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&1&2\\-1&-1&-2\end{pmatrix}

A^{-1}BC=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&0\\1&1&2\\-1&-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&1&2\\-1&-1&-2\end{pmatrix}

Y por último:

X=A^{-1}BC-2I=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&1&2\\-1&-1&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0&0\\1&-1&2\\-1&-1&-4\end{pmatrix}

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