Considera las rectas r y s dadas por
a) Estudia y determina la posición relativa de r y s.
b) Determina la recta perpendicular común a r y a s.
Solución:
a) Comenzamos por escribir ambas rectas en forma paramétrica.
Para escribir r en paramétricas hacemos el cambio z=λ:
Si a la ecuación de abajo le restamos la de arriba obtenemos: .
Sustituyendo este valor de y en la ecuación de abajo obtenemos:
Luego r en paramétricas es:
Obtenemos ahora las paramétricas de s haciendo el cambio z=μ, de donde obtenemos las paramétricas:
Una vez en paramétricas, es fácil obtener un punto y el vector director de ambas rectas.
y
.
Calculamos el vector .
Calculamos
ya que .
Ahora calculamos
ya que .
Luego, según se explica en el estudio de la posición relativa de dos rectas en el espacio, estas dos rectas se cruzan.
b) La recta perpendicular t tiene por vector director uno perpendicular a los de r y s:
Tenemos
Calculamos un plano que contenga a r y sea perpendicular a s: en forma implícita:
de donde .
Ahora calculamos un plano que contenga a s y sea perpendicular a r: en forma implícita:
de donde .
La intersección de es la recta t:
♦