Problema 356

Considera las rectas r y s dadas por

r\equiv\left\{\begin{array}{ccc}x+y&=&z+4\\x+2y&=&7\end{array}\right.\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{ccc}x-2&=&0\\y+3&=&0\end{array}\right.

a) Estudia y determina la posición relativa de r y s.

b) Determina la recta perpendicular común a r y a s.


Solución:

a) Comenzamos por escribir ambas rectas en forma paramétrica.
Para escribir r en paramétricas hacemos el cambio z=λ:

r\equiv\left\{\begin{array}{ccc}x+y&=&\lambda+4\\x+2y&=&7\end{array}\right.

Si a la ecuación de abajo le restamos la de arriba obtenemos: y=-\lambda+3.
Sustituyendo este valor de y en la ecuación de abajo obtenemos:

x=7-2(-\lambda+3)=7+2y-6=2\lambda+1

Luego r en paramétricas es:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2\lambda+1\\y=-\lambda+3\\z=\lambda\end{array}\right.

Obtenemos ahora las paramétricas de s haciendo el cambio z=μ, de donde obtenemos las paramétricas:

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=-3\\z=\mu\end{array}\right.

Una vez en paramétricas, es fácil obtener un punto y el vector director de ambas rectas.
P_r=(1,3,0),\,\vec v_r=(2,-1,1) y P_s=(2,-3,0),\,\vec v_s=(0,0,1).
Calculamos el vector \overrightarrow{P_rP_s}=(2,-3,0)-(1,3,0)=(1,-6,0).
Calculamos

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=2

ya que \begin{vmatrix}-1&1\\0&1\end{vmatrix}=-1\neq0.

Ahora calculamos

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&0&1\\1&-6&0\end{pmatrix}=3

ya que \begin{vmatrix}2&-1&1\\0&0&1\\1&-6&0\end{vmatrix}=11\neq0.

Luego, según se explica en el estudio de la posición relativa de dos rectas en el espacio, estas dos rectas se cruzan.


b) La recta perpendicular t tiene por vector director uno perpendicular a los de r y s:

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=-\vec\imath-2\vec\jmath=(-1,-2,0)

Tenemos \vec v_t=(-1,-2,0)

Calculamos un plano que contenga a r y sea perpendicular a s: \pi_1\equiv\left\{\begin{array}{l}P_r\\\vec v_r\\\vec v_t\end{array}\right. en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-1&y-3&z\\2&-1&1\\-1&2&0\end{vmatrix}=-(y-3)+4z-z-2(x-1)=-y+3+3z-2x+2

de donde \pi_1\equiv~-2x-y+3z+5=0.

Ahora calculamos un plano que contenga a s y sea perpendicular a r: \pi_2\equiv\left\{\begin{array}{l}P_s\\\vec v_s\\\vec v_t\end{array}\right. en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-2&y+3&z\\0&0&1\\-1&2&0\end{vmatrix}=-(y+3)-2(x-2)=-y-3-2x+4

de donde \pi_2\equiv~-2x-y+1=0.

La intersección de \pi_1\mbox{ y }\pi_2 es la recta t:

t\equiv~\left\{\begin{array}{r}-2x-y+3z+5=0\\-2x-y+1=0\end{array}\right.

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