Problema 357

Sea f la función definida por f(x)=\dfrac{e^x}{x-1} para x\neq1.

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) Esboza la gráfica de f indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.


Solución:

a) El dominio de f es \mathbb R\setminus\{1\}. Comenzamos estudiando si hay asíntota vertical. Las indeterminaciones del tipo ∞/∞ se resuelve aplicando la regla de L’Hôpital.

  • Asíntota vertical:
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac e{0^+}=+\infty
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac e{0^-}=-\infty
    Luego, existe una asíntota vertical y su ecuación es x=1.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac \infty\infty\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}1=+\infty
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac 0\infty=0
    Cuando x→-∞ f tiene asíntota horizontal cuya ecuación es y=0.
  • Asíntota oblicua:
    \displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{x^2-x}=\dfrac \infty\infty\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{2x-1}=\dfrac \infty\infty\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}2=+\infty
    No tiene asíntota oblicua.

b) Comenzamos por calcular los puntos críticos de f:

f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2}=0~;\\\\e^x(x-2)=0

ecuación cuya única ecuación es x=2.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Decrece: x\in(-\infty,1)\cup(1,2)
  • Crece: x\in(2,+\infty)
  • Mínimo en (2,f(2))=(2,e^2).

c) Calculamos los puntos de corte con los ejes.

  • Punto de corte eje x: y=0.
    0=\dfrac{e^x}{x-1}~;\\\\e^x=0~!!!!
    No corta al eje x.
  • Punto de corte eje y: x=0.
    y=\dfrac{e^0}{0-1}=-1
    Corta al eje y en (0,-1)

Con todos los datos aportados podríamos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p357

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