Sea f la función definida por para
.
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
c) Esboza la gráfica de f indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
Solución:
a) El dominio de f es . Comenzamos estudiando si hay asíntota vertical. Las indeterminaciones del tipo ∞/∞ se resuelve aplicando la regla de L’Hôpital.
- Asíntota vertical:
Luego, existe una asíntota vertical y su ecuación es x=1. - Asíntota horizontal:
Cuando x→-∞ f tiene asíntota horizontal cuya ecuación es y=0. - Asíntota oblicua:
No tiene asíntota oblicua.
b) Comenzamos por calcular los puntos críticos de f:
ecuación cuya única ecuación es x=2.
- Decrece:
- Crece:
- Mínimo en
.
c) Calculamos los puntos de corte con los ejes.
- Punto de corte eje x: y=0.
No corta al eje x. - Punto de corte eje y: x=0.
Corta al eje y en (0,-1)
Con todos los datos aportados podríamos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:
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