Problema 357

Sea f la función definida por $f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}$ para $x\neq1$ .

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) Esboza la gráfica de f indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Solución:

a) El dominio de f es $\mathbb R\setminus\{1\}$ . Comenzamos estudiando si hay asíntota vertical. Las indeterminaciones del tipo ∞/∞ se resuelve aplicando la regla de L’Hôpital.

Asíntota vertical:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac e{0^+}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac e{0^-}=-\infty$
Luego, existe una asíntota vertical y su ecuación es x=1.
Asíntota horizontal:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac \infty\infty\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}1=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^x}{x-1}=\dfrac 0\infty=0$
Cuando x→-∞ f tiene asíntota horizontal cuya ecuación es y=0.
Asíntota oblicua:
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{x^2-x}=\dfrac \infty\infty\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{2x-1}=\dfrac \infty\infty\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}2=+\infty$
No tiene asíntota oblicua.

b) Comenzamos por calcular los puntos críticos de f:

$f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2}=0~;\\\\e^x(x-2)=0$

ecuación cuya única ecuación es x=2.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$

Decrece: $x\in(-\infty,1)\cup(1,2)$
Crece: $x\in(2,+\infty)$
Mínimo en $(2,f(2))=(2,e^2)$ .

c) Calculamos los puntos de corte con los ejes.

Punto de corte eje x: y=0.
$0=\dfrac{e^x}{x-1}~;\\\\e^x=0~!!!!$
No corta al eje x.
Punto de corte eje y: x=0.
$y=\dfrac{e^0}{0-1}=-1$
Corta al eje y en (0,-1)