Sea f la función definida por para .

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) Esboza la gráfica de f indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Solución:

a) El dominio de f es . Comenzamos estudiando si hay asíntota vertical. Las indeterminaciones del tipo ∞/∞ se resuelve aplicando la regla de L’Hôpital.

• Asíntota vertical:
  
  
  Luego, existe una asíntota vertical y su ecuación es x=1.
• Asíntota horizontal:
  
  
  Cuando x→-∞ f tiene asíntota horizontal cuya ecuación es y=0.
• Asíntota oblicua:
  
  No tiene asíntota oblicua.

b) Comenzamos por calcular los puntos críticos de f:

ecuación cuya única ecuación es x=2.

• Decrece:
• Crece:
• Mínimo en .

c) Calculamos los puntos de corte con los ejes.

• Punto de corte eje x: y=0.
  
  No corta al eje x.
• Punto de corte eje y: x=0.
  
  Corta al eje y en (0,-1)

Con todos los datos aportados podríamos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

♦