Problema 358

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x\cos\left(\dfrac x2\right).

a) Calcula \displaystyle \int f(x)~dx.

b) Encuentra la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).


Solución:

a) Esta integral se resuelve por el método de integración por partes

\begin{array}{lcl}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=\cos(\frac x2)~dx&\longrightarrow&v=2\,\mbox{sen}(\frac x2)\end{array}

Entonces la primitiva F(x):

\displaystyle F(x)=\int x\cos\left(\frac x2\right)~dx=2x\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)-\int2\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)~dx=\\\\=2x\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)+4\cos\left(\frac x2\right)+k


b) La función F(x) pasa por el punto (0,1), es decir, F(0)=1:

F(0)=2\cdot 0\,\mbox{sen}\left(\frac 02\right)+4\cos\left(\frac 02\right)+k=4+k=1

de donde k=-3, por lo que:

F(x)=2x\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)+4\cos\left(\frac x2\right)-3

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