Problema 358

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat IIanálisis, integrales, selectividaddurán

Sea $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ la función definida por $f(x)=x\cos\left(\dfrac x2\right)$ .

a) Calcula $\displaystyle \int f(x)~dx$ .

b) Encuentra la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Solución:

a) Esta integral se resuelve por el método de integración por partes

$\begin{array}{lcl}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=\cos(\frac x2)~dx&\longrightarrow&v=2\,\mbox{sen}(\frac x2)\end{array}$

Entonces la primitiva $F(x)$ :

$\displaystyle F(x)=\int x\cos\left(\frac x2\right)~dx=2x\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)-\int2\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)~dx=\\\\=2x\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)+4\cos\left(\frac x2\right)+k$

b) La función $F(x)$ pasa por el punto (0,1), es decir, $F(0)=1$ :

$F(0)=2\cdot 0\,\mbox{sen}\left(\frac 02\right)+4\cos\left(\frac 02\right)+k=4+k=1$

de donde k=-3, por lo que:

$F(x)=2x\,\mbox{sen}\left(\frac x2\right)+4\cos\left(\frac x2\right)-3$

♦

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