Problema 359

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccc}x+y+mz&=&1\\x+my+z&=&1\\x+2y+4z&=&m\end{array}\right.

a) Discute el sistema en función del parámetro m.

b) Si es posible, resuelve el sistema para m=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficiente y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&m\\1&m&1\\1&2&4\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&m&1\\1&m&1&1\\1&2&4&m\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de M:

\begin{vmatrix}1&1&m\\1&m&1\\1&2&4\end{vmatrix}=4m+1+2m-m^2-4-2=-m^2+6m-5

determinante cuyas raíces son m=1 y m=5.

  • Si m≠1 y m≠5, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=1, se tiene que M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&2&4\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0.
    En cuanto al rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&2&1\end{vmatrix}=0
    luego el rango de la matriz ampliada es 2 también, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=5, se tiene M=\begin{pmatrix}1&1&5\\1&5&1\\1&2&4\end{pmatrix} cuyo rango también es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&5\end{vmatrix}=4\neq0.
    Ahora veamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&5&1\\1&2&5\end{vmatrix}=16
    por tanto el rango de M* es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para m=1, es sistema equivalente es:

\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z&=&1\\x+2y+4z&=&1\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{ccc}x+y&=&1-\lambda\\x+2y&=&1-4\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación de abajo le restamos la de arriba obtenemos la ecuación y=-3\lambda.
Y sustituyendo este valor de y en la primera ecuación:

x+(-3\lambda)=1-\lambda~;\\\\x=1+2\lambda

Por tanto la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=-3\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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