Problema 360

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIgeometría, rectas y planos, selectividaddurán

Considera los puntos A(2,-1,-2) y B(-1,-1,2), y la recta r dada por

$x-1=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}2$

a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en 3 segmentos de la misma longitud.

b) Determina un punto C de r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en C.

Solución:

p232

a) Llamamos C y D a los puntos que divide el segmento AB en tres partes iguales.
Calculamos el vector $\overrightarrow{AB}=(-1,-1,2)-(2,-1,-2)=(-3,0,4)$
El vector $\overrightarrow{AC}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}$ , luego

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-1,0,\frac 43)~;\\\\\overrightarrow{OC}=(-1,0,\frac 43)+(2,-1,-2)=(1,-1,-\frac 23)$

luego el punto C tiene coordenadas $(1,-1,-\frac 23)$ .

El vector $\overrightarrow{CD}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}$ , luego

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=(-1,0,\frac 43)~;\\\\\overrightarrow{OD}=(-1,0,\frac 43)+(1,-1,-\frac 23)=(0,-1,\frac 23)$

luego el punto D tiene por coordenadas $(0,-1,\frac 23)$ .

b) El punto C buscado pertenece a la recta r cuyas paramétricas son:

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=1-\lambda\\z=1+2\lambda\end{array}\right.$

Por tanto, el punto C tiene coordenadas $C=(1+\lambda,1-\lambda,1+2\lambda)$ .

Para que ABC sea un triángulo rectángulo en C, ha de ser $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ :

$\overrightarrow{AC}=(1+\lambda,1-\lambda,1+2\lambda)-(2,-1,-2)=(-1+\lambda,2-\lambda,3+2\lambda)$

$\overrightarrow{BC}=(1+\lambda,1-\lambda,1+2\lambda)-(-1,-1,2)=(2+\lambda,2-\lambda,-1+2\lambda)$

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1+\lambda)(2+\lambda)+(2-\lambda)(2-\lambda)+(3+2\lambda)(-1+2\lambda)=6\lambda^2+\lambda-1=0$

Las soluciones de esta ecuación son: $\lambda=\frac 13$ y $\lambda=-\frac 12$ . Luego hay dos puntos C que cumplen lo propuesto en el enunciado:

Para $\lambda=\frac 13\longrightarrow C_1=(\frac 43,\frac 23,\frac 53)$
Para $\lambda=-\frac 12\longrightarrow C_2=(\frac 12,\frac 32,0)$

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