Problema 361

📖Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat IIlímitesdurán

Calcula

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\mbox{tg}(x)-x}{x-\mbox{sen}(x)}$

Solución:

Recordamos que para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 utilizamos la regla de L’Hôpital:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\mbox{tg}(x)-x}{x-\mbox{sen}(x)}=\frac 00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1+\mbox{tg}^2(x)-1}{1-\cos(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\mbox{tg}^2(x)}{1-\cos(x)}=\frac 00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\mbox{tg}(x)(1+\mbox{tg}^2(x))}{\mbox{sen}(x)}=\frac 00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2(1+\mbox{tg}^2(x))^2+2\mbox{tg}(x)(2\mbox{tg}(x)(1+\mbox{tg}^2(x))}{\cos(x)}=\\\\=\frac 21=2$

♦

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