Problema 362

Considera las funciones f,\,g:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definidas por f(x)=-x^2-x+3 y g(x)=|x|.

a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g y calcula los puntos de corte de ambas gráficas.

b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.


Solución:

a) La función f(x)=-x^2-x+3 corresponde a una parábola cóncava que corta al eje x en:

0=-x^2-x+3\longrightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{-2}\mbox{ y }x=\dfrac{1-\sqrt{13}}{-2}

es decir, los puntos (\frac{1+\sqrt{13}}{-2},0) y (\frac{1-\sqrt{13}}{-2},0). También corta al eje y en (0,3).

Por otro lado, g(x)=|x| se puede escribir como

g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x&\mbox{si}&x\geq0\\-x&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.

que corresponde a la bisectriz del primer cuadrante para valores ≥0 y la bisectriz del segundo cuadrante para valores <0.

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p362

Veamos donde se cortan ambas gráficas:

  • Para x≥0
    x=-x^2-x+3~;\\x^2+2x-3=0
    De esta ecuación solo es válida la solución x=1. El punto de corte es (1,1).
  • Para x<0
    -x=-x^2-x+3~;\\x^2-3=0
    Cuya solución válida es x=-\sqrt 3. El punto de corte es (-\sqrt{3},\sqrt{3}).

b) El área S del recinto sombreado es:

\displaystyle S=\int_{-\sqrt 3}^0(-x^2-x+3)-(-x)~dx+\int_0^1(-x^2-x+3)-(x)~dx=\\\\=\int_{-\sqrt 3}^0-x^2+3~dx+\int_0^1-x^2-2x+3~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+3x\right]_{-\sqrt 3}^0+\left[\frac{-x^3}3-x^2+3x\right]_0^1=\\\\=\left[(0)-\left(\frac{-(-\sqrt{3})^3}3-3\sqrt{3}\right)\right]+\left[\left(-\frac 13-1^2+3\right)-(0)\right]=\\\\=2\sqrt 3+\frac 53=\frac{6\sqrt 3+5}3\approx 5.13\mbox{ u.a.}

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