Problema 363

Considera la matriz $M=\begin{pmatrix}1&2&3\\6&0&3\\x&y&z\end{pmatrix}$ . Sabiendo que el determinante de M es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices:

a) El determinante de la matriz 5M⁴.

b) $\begin{vmatrix}2&0&1\\1&2&3\\x&y&z\end{vmatrix}$

c) $\begin{vmatrix}1&x+6&x\\2&y&y\\3&z+3&z\end{vmatrix}$

Solución:

Para resolver los apartados utilizaremos las propiedades de los determinantes.

$\mbox{a) }|5M^4|\overset{P.6}=5^3|M^4|\overset{P.3}=125|M|^4=125\cdot2^4=2000$

$\mbox{b) }\begin{vmatrix}2&0&1\\1&2&3\\x&y&z\end{vmatrix}\overset{P.5}=-\begin{vmatrix}1&2&3\\2&0&1\\x&y&z\end{vmatrix}=-\dfrac 33\begin{vmatrix}1&2&3\\2&0&1\\x&y&z\end{vmatrix}\overset{P.6}=-\dfrac 13\begin{vmatrix}1&2&3\\6&0&2\\x&y&z\end{vmatrix}=-\dfrac 23$

$\mbox{c) }\begin{vmatrix}1&x+6&x\\2&y&y\\3&z+3&z\end{vmatrix}\overset{P.2}=\begin{vmatrix}1&2&3\\x+6&y&z+3\\x&y&z\end{vmatrix}\overset{P.7}=\begin{vmatrix}1&2&3\\x&y&z\\x&y&z\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&2&3\\6&0&3\\x&y&z\end{vmatrix}\overset{P.1}=0+2=2$

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