Problema 364

Sea r la recta que pasa por los puntos A(3,6,7) y B(7,8,3) y sea s la recta dada por

\left\{\begin{array}{ccl}x-4y-z&=&-10\\3x-4y+z&=&-2\end{array}\right.

a) Determina la posición relativa de r y s.

b) Calcula la distancia entre r y s.


Solución:

a) Para determina la posición relativa de dos rectas necesitamos un punto y el vector director de cada recta.
En el caso de la recta r el vector director \vec v_r es un vector paralelo a \overrightarrow{AB}=(7,8,3)-(3,6,7)=(4,2,-4). Podemos escribir que \vec v_r=(2,1,-2), y un punto cualquiera de r es P_r=A=(3,6,7).

Para obtener un punto y un vector de s lo mejor es escribir esa recta en forma paramétrica. Para ello hacemos el cambio y=\lambda:

\left\{\begin{array}{ccl}x-z&=&-10+4\lambda\\3x+z&=&-2+4\lambda\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones tenemos que

4x=-12+8\lambda~;\\\\x=-3+2\lambda

Sustituyendo en la primera ecuación:

(-3+2\lambda)-z=-10+4\lambda~;z=7-2\lambda

Luego s en paramétricas es

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-3+2\lambda\\y=\lambda\\z=7-2\lambda\end{array}\right.

De aquí se deduce un punto de s, P_s=(-3,0,7) y su vector director \vec v_s=(2,1,-2).

Vamos a discutir la posición relativa de las dos rectas según se explica aquí.
Calculamos el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\2&1&-2\end{pmatrix}. Este rango es 1 ya que la segunda fila es combinación lineal de la primera.

Calculamos el vector \overrightarrow{P_rP_s}=(-3,0,7)-(3,6,7)=(-6,-6,0).
Y ahora el rango de la matriz \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\2&1&-2\\-6&-6&0\end{pmatrix}, que es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-2\\-6&0\end{vmatrix}\neq0.

Por tanto, las rectas son paralelas.


b) La distancia entre dos rectas paralelas es:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP_s}|}{|\vec v_r|}}

\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP_s}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&1&-2\\-6&-6&0\end{vmatrix}=12\vec\jmath-12\vec k+6\vec k-12\vec\imath=(-12,12,-6)

Luego la distancia es:

d(r,s)=\dfrac{\sqrt{(-12)^2+12^2+(-6)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=\dfrac{\sqrt{324}}3=\dfrac{18}3=6\mbox{ u.l.}

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