Problema 365

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 €/m² para los laterales y de 24 €/m² para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 €.


Solución:

La caja es un prisma de base cuadrada.p113 El precio de dicha caja es:

p=24A_b+18A_l=50

donde el área de la base es A_b=x^2 y el área lateral de la caja es A_l=4xH, luego

24x^2+18\cdot4xH=50~;\\\\12x^2+36xH=25\qquad (1)

Tenemos que maximizar el volumen de la caja:

\boxed{V=A_bH}=x^2H\qquad (2)

Despejamos H de la ecuación (1):

H=\dfrac{25-12x^2}{36x}\qquad (3)

y sustituimos en la ecuación (2):

V(x)=x^2\cdot\dfrac{25-12x^2}{36x}=\dfrac{25x-12x^3}{36}

Calculamos los puntos críticos de la función volumen:

V'(x)=\dfrac{25-36x^2}{36}=0~;\\\\25-36x^2=0~;\\\\x^2=\dfrac{25}{36}~;\\\\x=\pm\dfrac 56

Descartamos el resultado negativo por lo que x=\frac 56.
Veamos si este resultado corresponde a un máximo aplicando el test de la derivada segunda:

V''(x)=\dfrac{-72x}{36}~;\\\\V''(\frac 56)=\dfrac{-72\cdot\frac56}{36}<0

por lo que se trata de un máximo en el volumen de la caja.
Queda solo calcular la altura H de la caja, para ello utilizamos (3):

H=\dfrac{25-12\left(\frac 56\right)^2}{36\cdot\frac 56}=\dfrac{25-\frac{25}3}{30}=\dfrac{50}{90}=\dfrac 59

Luego el lado de la base mide \boxed{x=\frac 56\text{ m}} y la altura de la caja es \boxed{H=\frac 59\text{ m}}.

Más problemas de optimización.

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