Problema 367

Considera la matriz A=\begin{pmatrix}0&-1&-2\\0&2&0\\1&1&3\end{pmatrix}

a) Halla, si existe, la inversa de A.

b) Determina los valores de m tales que (A-mI) tiene inversa (I es la matriz identidad).

c) Calcula el rango de (A-2I).


Solución:

a) Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

matriz inversa que existirá solo si |A|≠0:

|A|=\begin{vmatrix}0&-1&-2\\0&2&0\\1&1&3\end{vmatrix}=4

Sí tiene inversa:

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}6&0&-2\\1&2&-1\\4&0&0\end{pmatrix}

luego

A^{-1}=\dfrac 14\begin{pmatrix}6&1&4\\0&2&0\\-2&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac 32&\frac 14&1\\0&\frac 12&0\\\frac{-1}2&\frac{-1}4&0\end{pmatrix}


b) Comenzamos calculando A-mI:

A-mI=\begin{pmatrix}0&-1&-2\\0&2&0\\1&1&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}m&0&0\\0&m&0\\0&0&m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-m&-1&-2\\0&2-m&0\\1&1&3-m\end{pmatrix}

Para que esta matriz tenga inversa su determinante ha de ser distinto de 0:

\begin{vmatrix}-m&-1&-2\\0&2-m&0\\1&1&3-m\end{vmatrix}=-m(2-m)(3-m)+2(2-m)=(2-m)(m^2-3m+2)

determinante cuyas raíces son m=1 y m=2. Por tanto, para que A-mI tenga inversa ha de ser m≠1 y m≠2.


c) Si m=2, sabemos que A-mI tiene determinante igual a 0 por lo que su rango no es 3.

A-2I=\begin{pmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

tiene rango 2 ya que \begin{vmatrix}-2&-1\\1&1\end{vmatrix}=-1\neq0.

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