Problema 368

a) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto A(0,1,0) y es perpendicular a la recta r dada por $x+1=\dfrac{y+2}2=z-1$ .

b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación $2x+3y+4z=12$ con los ejes coordenados.

Solución:

a) Nos piden un plano π perpendicular a la recta r. Si un plano es perpendicular a una recta, entonces el vector normal del plano es paralelo al vector director de la recta:

$\boxed{\pi\perp r\quad\leftrightarrow\quad\vec n_{\pi}\parallel\vec v_r}$

Dado que r tiene por vector director $\vec v_r=(1,2,1)$ , entonces $\vec n_{\pi}=(1,2,1)$ ,luego la ecuación del plano tiene la forma $x+2y+z+D=0$ .

Ahora obligamos a que dicho plano pase por el punto A:

$0+2\cdot 1+0+D=0~;\\\\D=-2$

Luego el plano buscado es $\pi\equiv~x+2y+z-2=0$

b) Calculamos los puntos de corte de dicho plano α con cada uno de los ejes:

$A=\alpha\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=12\\y=0\\z=0\end{array}\right.\longrightarrow A=(6,0,0)$

$B=\alpha\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=12\\x=0\\z=0\end{array}\right.\longrightarrow B=(0,4,0)$

$C=\alpha\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=12\\x=0\\y=0\end{array}\right.\longrightarrow C=(0,0,3)$

Construimos los siguientes vectores:

$\overrightarrow{AB}=(0,4,0)-(6,0,0)=(-6,4,0)\\\\\overrightarrow{AC}=(0,0,3)-(6,0,0)=(-6,0,3)$

El área S del triángulo ABC es:

$S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-6&4&0\\-6&0&3\end{vmatrix}=12\vec\imath+24\vec k+16\vec\jmath=(12,16,24)$