Problema 368

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, ,

a) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto A(0,1,0) y es perpendicular a la recta r dada por x+1=\dfrac{y+2}2=z-1.

b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación 2x+3y+4z=12 con los ejes coordenados.

Solución:

a) Nos piden un plano π perpendicular a la recta r. Si un plano es perpendicular a una recta, entonces el vector normal del plano es paralelo al vector director de la recta:

\boxed{\pi\perp r\quad\leftrightarrow\quad\vec n_{\pi}\parallel\vec v_r}

Dado que r tiene por vector director \vec v_r=(1,2,1), entonces \vec n_{\pi}=(1,2,1),luego la ecuación del plano tiene la forma x+2y+z+D=0.

Ahora obligamos a que dicho plano pase por el punto A:

0+2\cdot 1+0+D=0~;\\\\D=-2

Luego el plano buscado es \pi\equiv~x+2y+z-2=0

b) Calculamos los puntos de corte de dicho plano α con cada uno de los ejes:

A=\alpha\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=12\\y=0\\z=0\end{array}\right.\longrightarrow A=(6,0,0)

B=\alpha\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=12\\x=0\\z=0\end{array}\right.\longrightarrow B=(0,4,0)

C=\alpha\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=12\\x=0\\y=0\end{array}\right.\longrightarrow C=(0,0,3)

triángulo

Construimos los siguientes vectores:

\overrightarrow{AB}=(0,4,0)-(6,0,0)=(-6,4,0)\\\\\overrightarrow{AC}=(0,0,3)-(6,0,0)=(-6,0,3)

El área S del triángulo ABC es:

S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-6&4&0\\-6&0&3\end{vmatrix}=12\vec\imath+24\vec k+16\vec\jmath=(12,16,24)

Luego

S=\dfrac{\sqrt{12^2+16^2+24^2}}2=\dfrac{\sqrt{976}}2=2\sqrt{61}\mbox{ u.a.}

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