Problema 369

p369 Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide 8 cm y la altura correspondiente mide 5 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).

Solución:

p369b Maximizar el área del rectángulo de la figura original equivale a maximizar el área del rectángulo de la mitad de la figura.

Tomamos el vértice del ángulo recto como origen de coordenadas, entonces la hipotenusa pertenece a una recta cuya ecuación es $y=-\dfrac 54x+5$

El área del rectángulo S es: $S=x\cdot y$ pero como $y=-\dfrac 54x+5$ , entonces:

$S(x)=x(-\dfrac 54x+5)=\dfrac{-5x^2+20x}4$

Calculamos los puntos críticos de S:

$S'(x)=\dfrac{-10x+20}4=0~;\\\\x=2$

Veamos si este punto crítico corresponde a un máximo utilizando el test de la derivada segunda:

$S''(x)=\dfrac{-10}4~;\\\\S''(2)=\dfrac{-10}4<0$

por lo que se trata de un máximo.

Calculamos el valor de y para ese valor de x:

$y=-\dfrac 54\cdot 2+5=\dfrac 52$

Por tanto, el rectángulo buscado tiene 4 cm de base y una altura de 2.5 cm.

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Problema 369

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