Problema 370

Siendo a>1, considera el rectángulo de vértices A(1,0), B(1,1), C(a,1) y D(a,0). La gráfica de la función f definida por $f(x)=\dfrac1{x^2}$ para x≠0 divide al rectángulo anterior en dos recintos.

a) Haz un esbozo de la gráfica de f y del rectángulo descrito.

b) Determina el valor de a para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Solución:

a) La gráfica de f es muy parecida a la de la hipérbola de $y=\dfrac 1x$ .
Tiene por dominio $\mathbb R\setminus\{0\}$ donde presenta una asíntota vertical ya que

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\dfrac 1{x^2}=+\infty$

Presenta asíntota horizontal y=0 ya que

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac 1{x^2}=0$

f siempre toma valores positivos, y por su derivada $f'(x)=\dfrac{-2}{x^3}$ sabemos que es creciente en (-∞,0) y decreciente en (0,+∞).

Por otra parte, f corta al rectángulo ABCD en $(1,f(1))$ y en $(a,f(a))$ , es decir, en $(1,1)$ y en $(a,\frac 1{a^2})$ . p370

b) Hemos de calcular el valor de a para que los dos recintos en que f divide al rectángulo ABCD sean iguales.
Calculamos el área $S_1$ del recinto de abajo de color amarillo:

$\displaystyle S_1=\int_1^a\frac1{x^2}~dx=\int_1^ax^{-2}~dx=\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_1^a=\\\\=\left[\frac{-1}x\right]_1^a=\frac{-1}a-\frac{-1}1=\frac{a-1}a$