Siendo a>1, considera el rectángulo de vértices A(1,0), B(1,1), C(a,1) y D(a,0). La gráfica de la función f definida por para x≠0 divide al rectángulo anterior en dos recintos.
a) Haz un esbozo de la gráfica de f y del rectángulo descrito.
b) Determina el valor de a para el que los dos recintos descritos tienen igual área.
Solución:
a) La gráfica de f es muy parecida a la de la hipérbola de .
Tiene por dominio donde presenta una asíntota vertical ya que
Presenta asíntota horizontal y=0 ya que
f siempre toma valores positivos, y por su derivada sabemos que es creciente en (-∞,0) y decreciente en (0,+∞).
Por otra parte, f corta al rectángulo ABCD en y en
, es decir, en
y en
.
b) Hemos de calcular el valor de a para que los dos recintos en que f divide al rectángulo ABCD sean iguales.
Calculamos el área del recinto de abajo de color amarillo:
El área del recinto de arriba de color verde será el del rectángulo entero menos el de
:
Solo nos queda imponer que y resolver:
ecuación de segundo grado que tiene dos soluciones a=1 y a=2. La primera se descarta puesto que a>1, luego la solución es a=2.
♦