Problema 370

Siendo a>1, considera el rectángulo de vértices A(1,0), B(1,1), C(a,1) y D(a,0). La gráfica de la función f definida por f(x)=\dfrac1{x^2} para x≠0 divide al rectángulo anterior en dos recintos.

a) Haz un esbozo de la gráfica de f y del rectángulo descrito.

b) Determina el valor de a para el que los dos recintos descritos tienen igual área.


Solución:

a) La gráfica de f es muy parecida a la de la hipérbola de y=\dfrac 1x.
Tiene por dominio \mathbb R\setminus\{0\} donde presenta una asíntota vertical ya que

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\dfrac 1{x^2}=+\infty

Presenta asíntota horizontal y=0 ya que

\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac 1{x^2}=0

f siempre toma valores positivos, y por su derivada f'(x)=\dfrac{-2}{x^3} sabemos que es creciente en (-∞,0) y decreciente en (0,+∞).

Por otra parte, f corta al rectángulo ABCD en (1,f(1)) y en (a,f(a)), es decir, en (1,1) y en (a,\frac 1{a^2}).p370


b) Hemos de calcular el valor de a para que los dos recintos en que f divide al rectángulo ABCD sean iguales.
Calculamos el área S_1 del recinto de abajo de color amarillo:

\displaystyle S_1=\int_1^a\frac1{x^2}~dx=\int_1^ax^{-2}~dx=\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_1^a=\\\\=\left[\frac{-1}x\right]_1^a=\frac{-1}a-\frac{-1}1=\frac{a-1}a

El área S_2 del recinto de arriba de color verde será el del rectángulo entero menos el de S_1:

S_2=(a-1)\cdot 1-S_1=a-1-\dfrac{a-1}a

Solo nos queda imponer que S_1=S_2 y resolver:

\dfrac{a-1}a=a-1-\dfrac{a-1}a~;\\\\\dfrac{2(a-1)}a=a-1~;\\\\2a-2=a^2-a~;\\\\a^2-3a+2=0

ecuación de segundo grado que tiene dos soluciones a=1 y a=2. La primera se descarta puesto que a>1, luego la solución es a=2.

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