Problema 371

Considera las matrices

$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

a) Discute el sistema dado por $AX=mX$ según los valores del parámetro m.

b) Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.

c) Para m=3 resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que $x+y+z=3$

Solución:

a) Se trata de un sistema de tres incógnitas: n=3. El sistema $AX=mX$ se puede escribir

$AX=mX~;\\\\AX-mX=\underline0~;\\\\(A-mI)X=\underline0$

donde I es la matriz identidad de orden 3 y $\underline0=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ .

Se trata por tanto de un sistema lineal homogéneo. Por ser homogéneo el rango de la matriz de coeficientes es siempre igual al rango de la matriz ampliada.
Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
La matriz de coeficientes es

$A-mI=\begin{pmatrix}2-m&0&0\\1&2-m&1\\1&0&3-m\end{pmatrix}$

Calculamos su rango:

$\begin{vmatrix}2-m&0&0\\1&2-m&1\\1&0&3-m\end{vmatrix}=(2-m)^2(3-m)$

determinante cuyas raíces son m=2 y m=3. Por tanto:

Si m≠2 y m≠3, entonces el rango de la matriz de coeficientes es 3 e igual a n, por lo que el sistema es compatible determinado.
Si m=2, entonces $A-2I=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 1 ya que la primera fila es nula y la segunda es igual a la tercera. Dicho de otro modo, solo hay una fila o columna linealmente independiente.
El sistema en este caso es compatible indeterminado.
Si m=3, entonces $\begin{pmatrix}-1&0&0\\1&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}-1&0\\1&-1\end{vmatrix}=1\neq0$ .
El sistema es también compatible indeterminado.