Problema 371

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Discute el sistema dado por AX=mX según los valores del parámetro m.

b) Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.

c) Para m=3 resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que x+y+z=3


Solución:

a) Se trata de un sistema de tres incógnitas: n=3. El sistema AX=mX se puede escribir

AX=mX~;\\\\AX-mX=\underline0~;\\\\(A-mI)X=\underline0

donde I es la matriz identidad de orden 3 y \underline0=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.

Se trata por tanto de un sistema lineal homogéneo. Por ser homogéneo el rango de la matriz de coeficientes es siempre igual al rango de la matriz ampliada.
Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
La matriz de coeficientes es

A-mI=\begin{pmatrix}2-m&0&0\\1&2-m&1\\1&0&3-m\end{pmatrix}

Calculamos su rango:

\begin{vmatrix}2-m&0&0\\1&2-m&1\\1&0&3-m\end{vmatrix}=(2-m)^2(3-m)

determinante cuyas raíces son m=2 y m=3. Por tanto:

  • Si m≠2 y m≠3, entonces el rango de la matriz de coeficientes es 3 e igual a n, por lo que el sistema es compatible determinado.
  • Si m=2, entonces A-2I=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que la primera fila es nula y la segunda es igual a la tercera. Dicho de otro modo, solo hay una fila o columna linealmente independiente.
    El sistema en este caso es compatible indeterminado.
  • Si m=3, entonces \begin{pmatrix}-1&0&0\\1&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&0\\1&-1\end{vmatrix}=1\neq0.
    El sistema es también compatible indeterminado.

b) En el caso en que es compatible determinado, m≠2 y m≠3, la solución del sistema es la solución trivial ya que se trata de un sistema homogéneo:

X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.


c) En el caso m=3, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y el sistema sería

\left\{\begin{array}{rcl}-x&=&0\\x-y+z&=&0\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ,

\left\{\begin{array}{rcl}-x&=&0\\x-y&=&-\lambda\end{array}\right.

de donde se obtiene la solución del sistema

\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Por último, veamos si existe alguna solución en la que x+y+z=3, para ello sustituimos la solución anterior en esta ecuación y resolvemos:

0+\lambda+\lambda=3~;\\\\\lambda=\dfrac 32

Luego la solución buscada es (x,y,z)=(0,\frac 32,\frac 32).

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