Problema 372

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, ,

Se sabe que los puntos A(-1,2,6) y B(1,4,-2) son simétricos respecto de un plano π.

a) Calcula la distancia de A a π.

b) Determina la ecuación general del plano π

Solución:

a) Dicho plano π pasa por el punto M que es el punto medio entre A y B.
De todos los puntos que forman el plano, el punto M es el más cercano a A, luego d(A,\pi)=d(A,M):

M=\dfrac{A+B}2=\dfrac{(-1,2,6)+(1,4,-2)}2=\dfrac{(0,6,4)}2=(0,3,2)

d(A,M)=\sqrt{(0-(-1))^2+(3-2)^2+(2-6)^2}=\sqrt{1+1+16}=\\\\=\sqrt{18}=3\sqrt2

Luego la distancia de A a π es 3\sqrt2\mbox{ u.l.}

b) El plano π es perpendicular al vector \overrightarrow{AB}=(1,4,-2)-(-1,2,6)=(2,2,-8), por lo que tiene por vector normal \vec n_{\pi} un vector proporcional a \overrightarrow{AB}

\vec n_{\pi}=(1,1,-4)

La ecuación de π tiene por tanto la forma x+y-4z+D=0.
Para calcular D obligamos a que π pase por el punto M:

0+3-4\cdot2+D=0~;\\\\D=5

Luego \pi\equiv x+y-4z+5=0

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