Problema 372

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIgeometría, rectas y planos, selectividaddurán

Se sabe que los puntos A(-1,2,6) y B(1,4,-2) son simétricos respecto de un plano π.

a) Calcula la distancia de A a π.

b) Determina la ecuación general del plano π

Solución:

a) Dicho plano π pasa por el punto M que es el punto medio entre A y B.
De todos los puntos que forman el plano, el punto M es el más cercano a A, luego $d(A,\pi)=d(A,M)$ :

$M=\dfrac{A+B}2=\dfrac{(-1,2,6)+(1,4,-2)}2=\dfrac{(0,6,4)}2=(0,3,2)$

$d(A,M)=\sqrt{(0-(-1))^2+(3-2)^2+(2-6)^2}=\sqrt{1+1+16}=\\\\=\sqrt{18}=3\sqrt2$

Luego la distancia de A a π es $3\sqrt2\mbox{ u.l.}$

b) El plano π es perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}=(1,4,-2)-(-1,2,6)=(2,2,-8)$ , por lo que tiene por vector normal $\vec n_{\pi}$ un vector proporcional a $\overrightarrow{AB}$