Problema 373

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIanálisis, funciones, selectividaddurán

Sea $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ la función definida por $f(x)=x+xe^{-x}$

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta $x-y+1=0$ .

b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa $x=x_0$ es:

$\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}$

Nos dicen que la recta tangente cuya pendiente es $f'(x_0)$ , es paralela a la recta $x-y+1=0$ cuya pendiente es 1 ya que $y=x+1$ , por tanto $f'(x_0)=1$ :

$f'(x)=1+e^{-x}-xe^{-x}~;\\\\1+e^{-x_0}-x_0e^{-x_0}=1~;\\\\e^{-x_0}(1-x_0)=0$

ecuación cuya solución es $x_0=1$ .
Solo queda calcular $f(1)=1+1\cdot e^{-1}=1+\dfrac 1e=\dfrac{e+1}e$
Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente:

$y-\dfrac{e+1}e=1(x-1)~;\\\\y=x-1+\dfrac{e+1}e~;\\\\y=x+\dfrac 1e$

b) El dominio de f es $\mathbb R$ , por lo que no tiene asíntota vertical.

Asíntota horizontal:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}x+xe^{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x(1+e^{-x})=+\infty\cdot 1=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}x+xe^{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x(1+e^{-x})=-\infty\cdot +\infty=-\infty$
No tiene asíntota horizontal.
Asíntota oblicua:
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+xe^{-x}}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}1+e^{-x}=1$
$\displaystyle n=\lim_{x\rightarrow+\infty}x+xe^{-x}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=+\infty\cdot 0\underset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{e^{x}}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac 1{e^{x}}=0$
Sí tiene asíntota oblicua cuando x→+∞ y su ecuación es $y=x$ .Veamos ahora cuando x→-∞
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+xe^{-x}}x=\lim_{x\rightarrow-\infty}1+e^{-x}=+\infty$
En ese sentido, f no tiene asíntota oblicua.

♦

Responder Cancelar respuesta

Introduce aquí tu comentario...

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Correo electrónico (obligatorio) (La dirección no se hará pública)

Nombre (obligatorio)

Web

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Google. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s