Problema 373

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, ,

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x+xe^{-x}

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta x-y+1=0.

b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Nos dicen que la recta tangente cuya pendiente es f'(x_0), es paralela a la recta x-y+1=0 cuya pendiente es 1 ya que y=x+1, por tanto f'(x_0)=1:

f'(x)=1+e^{-x}-xe^{-x}~;\\\\1+e^{-x_0}-x_0e^{-x_0}=1~;\\\\e^{-x_0}(1-x_0)=0

ecuación cuya solución es x_0=1.
Solo queda calcular f(1)=1+1\cdot e^{-1}=1+\dfrac 1e=\dfrac{e+1}e
Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente:

y-\dfrac{e+1}e=1(x-1)~;\\\\y=x-1+\dfrac{e+1}e~;\\\\y=x+\dfrac 1e

b) El dominio de f es \mathbb R, por lo que no tiene asíntota vertical.

  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}x+xe^{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x(1+e^{-x})=+\infty\cdot 1=+\infty
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}x+xe^{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x(1+e^{-x})=-\infty\cdot +\infty=-\infty
    No tiene asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua:
    \displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+xe^{-x}}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}1+e^{-x}=1
    \displaystyle n=\lim_{x\rightarrow+\infty}x+xe^{-x}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=+\infty\cdot 0\underset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{e^{x}}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac 1{e^{x}}=0
    Sí tiene asíntota oblicua cuando x→+∞ y su ecuación es y=x.Veamos ahora cuando x→-∞
    \displaystyle m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+xe^{-x}}x=\lim_{x\rightarrow-\infty}1+e^{-x}=+\infty
    En ese sentido, f no tiene asíntota oblicua.

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