Problema 374

Calcula \displaystyle \int_0^{\ln(2)}\frac1{1+e^x}~dx donde ln denota logaritmo neperiano (sugerencia t=e^x).


Solución:

Haciendo el cambio de variables sugerido tenemos:

t=e^x~;x=\ln(t)\\\\dx=\dfrac 1t~dt\\\\x=0\rightarrow t=e^0=1\\x=\ln(2)\rightarrow t=e^{\ln(2)}=2

Sustituyendo en la integral:

\displaystyle I=\int_0^{\ln(2)}\frac1{1+e^x}~dx=\int_1^2\dfrac1{1+t}\cdot\dfrac 1t~dt=\int_1^2\dfrac1{(1+t)t}~dt

Descomponemos esta fracción:

\dfrac1{(1+t)t}=\dfrac A{1+t}+\dfrac Bt=\dfrac{At+B(1+t)}{(1+t)t}

de donde 1=At+B(1+t).

  • Para t=0\rightarrow 1=B
  • Para t=-1\rightarrow 1=-A, de donde A=-1.

Luego

\displaystyle I=\int_1^2\dfrac1{(1+t)t}~dt=\int_1^2\dfrac{-1}{1+t}~dt+\int_1^2\dfrac1{t}~dt=\\\\=\left[-\ln|1+t|+\ln|t|\right]_1^2=\left[\ln\left|\dfrac{t}{1+t}\right|\right]_1^2=\\\\=\ln\left(\dfrac 23\right)-\ln\left(\dfrac 12\right)=\ln\left(\dfrac{2/3}{1/2}\right)=\ln\left(\dfrac 43\right)

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