Problema 375

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{ccc}x-z&=&m\\my+3z&=&1\\4x+y-mz&=&5\end{array}\right.$

a) Discútelo según los valores del parámetro m.

b) Para m=1 resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea x=z.

Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&m&3\\4&1&-m\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&0&-1&m\\0&m&3&1\\4&1&-m&5\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

$\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&m&3\\4&1&-m\end{vmatrix}=-m^2+4m-3$

determinante cuyas raíces son m=1 y m=3.

Si m≠1 y m≠3, el rango de M=3=n=rg(M*), por lo que el sistema es compatible determinado.
Si m=1, entonces $M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&3\\4&1&-1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$ .
Calculamos el rango de M*:
$\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\4&1&5\end{vmatrix}=5-4-1=0$
Luego el rango de M* es también 2, y el sistema es compatible indeterminado.
Si m=3, entonces $M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&3&3\\4&1&-3\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}=3\neq0$
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}1&0&3\\0&3&1\\4&1&5\end{vmatrix}=15-36-1=-22\neq0$
Luego el rango de M* es 3, y el sistema es incompatible.