Problema 375

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccc}x-z&=&m\\my+3z&=&1\\4x+y-mz&=&5\end{array}\right.

a) Discútelo según los valores del parámetro m.

b) Para m=1 resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea x=z.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&m&3\\4&1&-m\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&0&-1&m\\0&m&3&1\\4&1&-m&5\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&m&3\\4&1&-m\end{vmatrix}=-m^2+4m-3

determinante cuyas raíces son m=1 y m=3.

  • Si m≠1 y m≠3, el rango de M=3=n=rg(M*), por lo que el sistema es compatible determinado.
  • Si m=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&3\\4&1&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de M*:
    \begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\4&1&5\end{vmatrix}=5-4-1=0
    Luego el rango de M* es también 2, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=3, entonces M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&3&3\\4&1&-3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}=3\neq0
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&0&3\\0&3&1\\4&1&5\end{vmatrix}=15-36-1=-22\neq0
    Luego el rango de M* es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para m=1 el sistema equivalente al original es:

\left\{\begin{array}{ccc}x-z&=&1\\y+3z&=&1\end{array}\right.

que resolvemos haciendo el cambio z=λ. El sistema es ahora:

\left\{\begin{array}{ccc}x&=&1+\lambda\\y&=&1-3\lambda\end{array}\right.

Es decir, que la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=1-3\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Por último, nos piden una solución de este sistema donde x=z.

1+\lambda=\lambda~;\\\\1=0~!!!

por lo que no existe una solución donde x=z para m=1.

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