Considera el siguiente sistema de ecuaciones
a) Discútelo según los valores del parámetro m.
b) Para m=1 resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea x=z.
Solución:
a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:
determinante cuyas raíces son m=1 y m=3.
- Si m≠1 y m≠3, el rango de M=3=n=rg(M*), por lo que el sistema es compatible determinado.
- Si m=1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de M*:
Luego el rango de M* es también 2, y el sistema es compatible indeterminado. - Si m=3, entonces
cuyo rango es 2 ya que
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de M* es 3, y el sistema es incompatible.
b) Para m=1 el sistema equivalente al original es:
que resolvemos haciendo el cambio z=λ. El sistema es ahora:
Es decir, que la solución del sistema es:
Por último, nos piden una solución de este sistema donde x=z.
por lo que no existe una solución donde x=z para m=1.
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