Problema 376

Considera las rectas r y s dadas por

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2\mu\\y=1\\z=0\end{array}\right.\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{rcl}x+y&=&2\\z&=&2\end{array}\right.

a) Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.

b) Calcula la distancia entre las rectas dadas.


Solución:

a) En primer lugar escribimos la recta s en paramétricas haciendo el cambio x=λ.

s\equiv\left\{\begin{array}{rcl}y&=&2-\lambda\\z&=&2\end{array}\right.

de donde

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2-\lambda\\z=2\end{array}\right.

La recta que nos piden es la recta perpendicular común de r y s. Dicha recta t tiene por vector director uno proporcional a \vec v_r\times\vec v_s siendo \vec v_r=(2,0,0) y \vec v_s=(1,-2,0).

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&0&0\\1&-2&0\end{vmatrix}=-4\vec k=(0,0,-4)

Definimos \vec v_t=(0,0,1) que es proporcional a (0,0,-4).

Calculamos un plano \pi_1 que contiene a r y es perpendicular a s: \pi_1\equiv\left\{\begin{array}{l}P_r=(0,1,0)\\\vec v_r=(2,0,0)\\\vec v_t=(0,0,1)\end{array}\right.

\begin{vmatrix}x&y-1&z\\2&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-2y+2

Luego \pi_1\equiv -2y+2=0 o bien \pi_1\equiv y-1=0

Calculamos un plano \pi_2 que contiene a s y es perpendicular a r: \pi_2\equiv\left\{\begin{array}{l}P_s=(0,2,2)\\\vec v_s=(1,-1,0)\\\vec v_t=(0,0,1)\end{array}\right.

\begin{vmatrix}x&y-2&z-2\\1&-1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-x-y+2

Luego el plano buscado \pi_2\equiv -x-y+2=0.

La recta perpendicular común no es más que la intersección de ambos planos:

t=\pi_1\cap\pi_2\equiv\left\{\begin{array}{cc}y-1&=0\\-x-y+2&=0\end{array}\right.


b) Utilizaremos la fórmula de la distancia para dos rectas que se cruzan:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

\overrightarrow{P_rP_s}=(0,2,2)-(0,1,0)=(0,1,2)

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}2&0&0\\1&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}=-4

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&0&0\\1&-2&0\end{vmatrix}=(0,0,-4)

Luego la distancia buscada es:

d(r,s)=\dfrac{|-4|}{\sqrt{(-4)^2}}=1\mbox{ u.l.}

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