Problema 376

Considera las rectas r y s dadas por

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2\mu\\y=1\\z=0\end{array}\right.\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{rcl}x+y&=&2\\z&=&2\end{array}\right.$

a) Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.

b) Calcula la distancia entre las rectas dadas.

Solución:

a) En primer lugar escribimos la recta s en paramétricas haciendo el cambio x=λ.

$s\equiv\left\{\begin{array}{rcl}y&=&2-\lambda\\z&=&2\end{array}\right.$

de donde

$s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2-\lambda\\z=2\end{array}\right.$

La recta que nos piden es la recta perpendicular común de r y s. Dicha recta t tiene por vector director uno proporcional a $\vec v_r\times\vec v_s$ siendo $\vec v_r=(2,0,0)$ y $\vec v_s=(1,-2,0)$ .

$\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&0&0\\1&-2&0\end{vmatrix}=-4\vec k=(0,0,-4)$

Definimos $\vec v_t=(0,0,1)$ que es proporcional a (0,0,-4).

Calculamos un plano $\pi_1$ que contiene a r y es perpendicular a s: $\pi_1\equiv\left\{\begin{array}{l}P_r=(0,1,0)\\\vec v_r=(2,0,0)\\\vec v_t=(0,0,1)\end{array}\right.$

$\begin{vmatrix}x&y-1&z\\2&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-2y+2$

Luego $\pi_1\equiv -2y+2=0$ o bien $\pi_1\equiv y-1=0$

Calculamos un plano $\pi_2$ que contiene a s y es perpendicular a r: $\pi_2\equiv\left\{\begin{array}{l}P_s=(0,2,2)\\\vec v_s=(1,-1,0)\\\vec v_t=(0,0,1)\end{array}\right.$