Problema 377

Dado el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&my&&&=&1\\-2x&-&(m+1)y&+&z&=&-1\\x&+&(2m-1)y&+&(m+2)z&=&2+2m\end{array}\right.

a) Discutir el sistema en función del parámetro m.

b) Resolver el sistema en el caso m=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Primero escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&m&0\\-2&-m-1&1\\1&2m-1&m+2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&m&0&1\\-2&-m-1&1&-1\\1&2m-1&m+2&2+2m\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz M:

\begin{vmatrix}1&m&0\\-2&-m-1&1\\1&2m-1&m+2\end{vmatrix}=m^2-1

determinante cuyas raíces son m=1 y m=-1.

  • Si m≠1 y m≠-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&0\\-2&-2&1\\1&1&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\-2&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Veamos cual es el rango de M*:
    \begin{vmatrix}1&0&1\\-2&1&-1\\1&3&4\end{vmatrix}=4-6-1+3=0
    Luego el rango de M* es 2 también, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=-1, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-2&0&1\\1&-3&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\-2&0\end{vmatrix}=-2\neq0.
    Veamos ahora el rango de la matriz ampliada:
    \begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&0&-1\\1&-3&0\end{pmatrix}=1+6-3=4\neq0
    Luego el rango de M* es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para el caso m=0 el rango de M es 3 luego las tres ecuaciones son linealmente independientes.

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&&&&&=&1\\-2x&-&y&+&z&=&-1\\x&-&y&+&2z&=&2\end{array}\right.

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer.

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&-1&1\\2&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&0\\-2&-1&1\\1&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-1}{-1}=1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\-2&-1&1\\1&2&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&0\\-2&-1&1\\1&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{1}{-1}=-1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&1\\-2&-1&-1\\1&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&0\\-2&-1&1\\1&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{0}{-1}=0

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