Problema 378

a) En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes: m_1=0.92,\,m_2=0.94,\,m_3=0.89,\,m_4=0.90,\,m_5=0.91.
Se tomará como resultado el valor de x tal que la suma de los cuadrados de los errores sea mínima. Es decir, el valor para el que la función E(x)=(x-m_1)^2+(x-m_2)^2+\dots+(x-m_5)^2 alcanza el mínimo.

b) Aplique el método de integración por partes para calcular la integral \displaystyle \int_1^2x^2\ln(x)~dx, donde ln significa logaritmo neperiano.


Solución:

a) Calculamos los puntos críticos de la función E:

\displaystyle E'(x)=2(x-m_1)+2(x-m_2)+\dots+2(x-m_5)=\\\\=2x-2m_1+2x-2m_2+\cdots +2x-2m_5=\\\\=10x-2(m_1+m_2+\cdots+m_5)=0~;\\\\10x=2(m_1+m_2+\cdots+m_5)~;\\\\x=\dfrac{2(m_1+m_2+\cdots+m_5)}{10}=0.912

Como E''(x)=10 para todo x, el punto crítico es un mínimo según el test de la derivada segunda.


b) Aplicamos el método de integración por partes como sugiere el enunciado:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x)&\longrightarrow&du=\dfrac 1x~dx\\dv=x^2~dx&\longrightarrow&v=\dfrac{x^3}3\end{array}

\displaystyle \int_1^2x^2\ln(x)~dx=\Big[\dfrac{x^3}3\ln(x)\Big]_1^2-\int_1^2\dfrac{x^3}3\dfrac 1x~dx=\\\\=\Big(\dfrac 83\ln(2)-0\Big)-\int_1^2\dfrac{x^2}3~dx=\dfrac 83\ln(2)-\Big[\dfrac{x^3}9\Big]_1^2=\\\\=\dfrac 83\ln(2)-\Big(\dfrac 89-\dfrac 19\Big)=\dfrac 83\ln(2)-\dfrac 79

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