Problema 379

Dados los planos \pi_1\equiv 4x+6y-12z+1=0, \pi_2\equiv -2x-3y+6z-5=0, se pide:

a) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos.

b) Para el cuadrado de vértices consecutivos ABCD, con A(2,1,3) y B(1,2,3), calcular los vértices C y D, sabiendo que C pertenece a los planos \pi_2 y \pi_3\equiv x-y+z=2.


Solución:

a) Observamos que ambos planos \pi_1 y \pi_2 son paralelos ya que sus vectores normales \vec n_{\pi_1}=(4,6,-12) y \vec n_{\pi_2}=(-2,-3,6) también lo son ya que cumplen la condición de paralelismo:

\dfrac 4{-2}=\dfrac 6{-3}=\dfrac{-12}6\neq\dfrac1{-5}

Al ser dos planos paralelos, entre ambos se puede construir un cubo cuya arista será la distancia entre ambos planos.
Multiplicamos la ecuación del plano \pi_2 por -2:

\pi_2\equiv 4x+6y-12z+10=0. Ahora las ecuaciones implícitas de ambos planos tienen los mismos coeficientes A, B y C.
La distancia entre dos planos paralelos es:

\boxed{d(\pi_1,\pi_2)=\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

En nuestro caso:

d(\pi_1,\pi_2)=\dfrac{|1-10|}{\sqrt{4^2+6^2+(-12)^2}}=\dfrac 9{14}\mbox{ u.l.}

Esta distancia entre los planos es la arista del cubo, luego el volumen del cubo es:

V=\left(\dfrac 9{14}\right)^3=\dfrac{729}{2744}\approx 0.266\mbox{ u.v.}


b) Los planos \pi_2 y \pi_3 se cortan en una recta r. Luego el punto C pertenece a dicha recta.

r\equiv\left\{\begin{array}{c}-2x-3y+6z=5\\x-y+z=2\end{array}\right.

Calculamos las ecuaciones paramétricas de r haciendo el cambio z=λ:

r\equiv\left\{\begin{array}{c}-2x-3y=5-6\lambda\\x-y=2-\lambda\end{array}\right.

Multiplicando la segunda ecuación por 2:

r\equiv\left\{\begin{array}{c}-2x-3y=5-6\lambda\\2x-2y=4-2\lambda\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones se obtiene -5y=9-8\lambda de donde y=\dfrac{9-8\lambda}{-5}=\dfrac{-9+8\lambda}5.
Por último, sustituyendo:

x-y=2-\lambda~;\\\\x=2-\lambda+\dfrac{-9+8\lambda}5=\dfrac{10-5\lambda-9+8\lambda}5=\dfrac{1+3\lambda}5

Luego:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1+3\lambda}5\\y=\dfrac{-9+8\lambda}5\\z=\lambda\end{array}\right.

El punto C pertenece a dicha recta luego: C=(\dfrac{1+3\lambda}5,\dfrac{-9+8\lambda}5,\lambda).

Como ABCD forma un cuadrado, entonces \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0

\overrightarrow{AB}=(1,2,3)-(2,1,3)=(-1,1,0)\\\\\overrightarrow{BC}=(\dfrac{1+3\lambda}5,\dfrac{-9+8\lambda}5,\lambda)-(1,2,3)=(\dfrac{-4+3\lambda}5,\dfrac{-19+8\lambda}5,\lambda-3)

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{4-3\lambda}5+\dfrac{-19+8\lambda}5=\dfrac{-15+5\lambda}5=0\longrightarrow 5\lambda=15\longrightarrow \lambda=3

Luego C=(2,3,3). Comprobemos que los lados \overline{AB} y \overline{BC} miden lo mismo:

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\\\\\overrightarrow{BC}=(1,1,0)\longrightarrow|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

Por tanto, los lados miden lo mismo y se forma un cuadrado. Solo queda calcular el punto D:

\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=(1,-1,0)

Luego D=(1,-1,0)-C=(-1,-4,-3)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s