Problema 379

Dados los planos $\pi_1\equiv 4x+6y-12z+1=0$ , $\pi_2\equiv -2x-3y+6z-5=0$ , se pide:

a) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos.

b) Para el cuadrado de vértices consecutivos ABCD, con A(2,1,3) y B(1,2,3), calcular los vértices C y D, sabiendo que C pertenece a los planos $\pi_2$ y $\pi_3\equiv x-y+z=2.$

Solución:

a) Observamos que ambos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son paralelos ya que sus vectores normales $\vec n_{\pi_1}=(4,6,-12)$ y $\vec n_{\pi_2}=(-2,-3,6)$ también lo son ya que cumplen la condición de paralelismo:

$\dfrac 4{-2}=\dfrac 6{-3}=\dfrac{-12}6\neq\dfrac1{-5}$

Al ser dos planos paralelos, entre ambos se puede construir un cubo cuya arista será la distancia entre ambos planos.
Multiplicamos la ecuación del plano $\pi_2$ por -2:

$\pi_2\equiv 4x+6y-12z+10=0$ . Ahora las ecuaciones implícitas de ambos planos tienen los mismos coeficientes A, B y C.
La distancia entre dos planos paralelos es:

$\boxed{d(\pi_1,\pi_2)=\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

En nuestro caso:

$d(\pi_1,\pi_2)=\dfrac{|1-10|}{\sqrt{4^2+6^2+(-12)^2}}=\dfrac 9{14}\mbox{ u.l.}$

Esta distancia entre los planos es la arista del cubo, luego el volumen del cubo es:

$V=\left(\dfrac 9{14}\right)^3=\dfrac{729}{2744}\approx 0.266\mbox{ u.v.}$

b) Los planos $\pi_2$ y $\pi_3$ se cortan en una recta r. Luego el punto C pertenece a dicha recta.

$r\equiv\left\{\begin{array}{c}-2x-3y+6z=5\\x-y+z=2\end{array}\right.$

Calculamos las ecuaciones paramétricas de r haciendo el cambio z=λ:

$r\equiv\left\{\begin{array}{c}-2x-3y=5-6\lambda\\x-y=2-\lambda\end{array}\right.$

Multiplicando la segunda ecuación por 2:

$r\equiv\left\{\begin{array}{c}-2x-3y=5-6\lambda\\2x-2y=4-2\lambda\end{array}\right.$

Sumando ambas ecuaciones se obtiene $-5y=9-8\lambda$ de donde $y=\dfrac{9-8\lambda}{-5}=\dfrac{-9+8\lambda}5$ .
Por último, sustituyendo:

$x-y=2-\lambda~;\\\\x=2-\lambda+\dfrac{-9+8\lambda}5=\dfrac{10-5\lambda-9+8\lambda}5=\dfrac{1+3\lambda}5$

Luego:

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1+3\lambda}5\\y=\dfrac{-9+8\lambda}5\\z=\lambda\end{array}\right.$

El punto C pertenece a dicha recta luego: $C=(\dfrac{1+3\lambda}5,\dfrac{-9+8\lambda}5,\lambda)$ .

Como ABCD forma un cuadrado, entonces $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$

$\overrightarrow{AB}=(1,2,3)-(2,1,3)=(-1,1,0)\\\\\overrightarrow{BC}=(\dfrac{1+3\lambda}5,\dfrac{-9+8\lambda}5,\lambda)-(1,2,3)=(\dfrac{-4+3\lambda}5,\dfrac{-19+8\lambda}5,\lambda-3)$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{4-3\lambda}5+\dfrac{-19+8\lambda}5=\dfrac{-15+5\lambda}5=0\longrightarrow 5\lambda=15\longrightarrow \lambda=3$