Dados los planos ,
, se pide:
a) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos.
b) Para el cuadrado de vértices consecutivos ABCD, con A(2,1,3) y B(1,2,3), calcular los vértices C y D, sabiendo que C pertenece a los planos y
Solución:
a) Observamos que ambos planos y
son paralelos ya que sus vectores normales
y
también lo son ya que cumplen la condición de paralelismo:
Al ser dos planos paralelos, entre ambos se puede construir un cubo cuya arista será la distancia entre ambos planos.
Multiplicamos la ecuación del plano por -2:
. Ahora las ecuaciones implícitas de ambos planos tienen los mismos coeficientes A, B y C.
La distancia entre dos planos paralelos es:
En nuestro caso:
Esta distancia entre los planos es la arista del cubo, luego el volumen del cubo es:
b) Los planos y
se cortan en una recta r. Luego el punto C pertenece a dicha recta.
Calculamos las ecuaciones paramétricas de r haciendo el cambio z=λ:
Multiplicando la segunda ecuación por 2:
Sumando ambas ecuaciones se obtiene de donde
.
Por último, sustituyendo:
Luego:
El punto C pertenece a dicha recta luego: .
Como ABCD forma un cuadrado, entonces
Luego . Comprobemos que los lados
y
miden lo mismo:
Por tanto, los lados miden lo mismo y se forma un cuadrado. Solo queda calcular el punto D:
Luego
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