Problema 381

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}m&0&2\\-2&4&m\\0&1&-1\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}, se pide:

a) Obtener los valores del parámetro m para los que la matriz A admite inversa.

b) Para m=0, calcular AB y A^{-1}B.

c) Calcular BB^t y B^tB, donde B^t denota la matriz traspuesta de B.


Solución:

a) Para que una matriz admita inversa su determinante ha de ser distinto de 0. Calculamos el determinante de A:

|A|=\begin{vmatrix}m&0&2\\-2&4&m\\0&1&-1\end{vmatrix}=-4m-4-m^2=-(m+2)^2

Determinante cuya raíz es m=-2. Por tanto, esta matriz admite inversa siempre que m≠-2.


b) Para m=0, A=\begin{pmatrix}0&0&2\\-2&4&0\\0&1&-1\end{pmatrix}

AB=\begin{pmatrix}0&0&2\\-2&4&0\\0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}

Hay que calcular la matriz inversa de A cuyo resultado es:

A^{-1}=\dfrac 12\begin{pmatrix}2&-1&4\\1&0&2\\1&0&0\end{pmatrix}

y por último

A^{-1}B=\dfrac 12\begin{pmatrix}2&-1&4\\1&0&2\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}=\dfrac 12\begin{pmatrix}-4\\-2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}


c)

BB^t=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

B^tB=\begin{pmatrix}-2&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}=4

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