Problema 382

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II, ,

Dada la función f(x)=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+9}}, se pide:

a) Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de f.

b) Calcular f'(4).

c) Hallar el área del recinto limitado por la curva y=f(x), el eje OX y las rectas x=-1 y x=1.

Solución:

a) Escribimos la función como una función a trozos:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}&\mbox{si}&x\geq0\\\dfrac{-x}{\sqrt{x^2+9}}&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.

Calculamos las asíntotas horizontales:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}=\dfrac 00=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x/x}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac9{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac9{x^2}}}=1

Luego para x→+∞ la función f se aproxima asintóticamente a y=1.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-x}{\sqrt{x^2+9}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}=1

ya que \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(-x). Continuamos:

Luego para x→-∞ la función f también se aproxima asintóticamente a y=1.

b) Para x=4

\left(\dfrac x{\sqrt{x^2+9}}\right)'=\dfrac{\sqrt{x^2+9}-x\frac1{2\sqrt{x^2+9}}\cdot 2x}{x^2+9}=\dfrac{x^2+9-x^2}{(x^2+9)\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{9}{(x^2+9)\sqrt{x^2+9}}

de donde f'(4)=\dfrac{9}{(4^2+9)\sqrt{4^2+9}}=\dfrac 9{25\cdot 5}=\dfrac 9{125}

c) Esta función tiene simetría par ya que

f(-x)=\dfrac{|-x|}{\sqrt{(-x)^2+9}}=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+9}}=f(x)

luego el área S:

\displaystyle S=\int_{-1}^1f(x)=2\int_0^1f(x)

entonces:

\displaystyle S=2\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}~dx=2\int_0^1x(x^2+9)^{-1/2}~dx=\\\\=\int_0^12x(x^2+9)^{-1/2}~dx=\left[\dfrac{(x^2+9)^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=\\\\=(2\sqrt{1^2+9})-2\sqrt{(0^2+9)}=2\sqrt{10}-6\mbox{ u.a.}

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