Problema 383

Dados el punto P(1,1,1) y las rectas

r\equiv\left\{\begin{array}{c}2x+y=2\\5x+z=6\end{array}\right.\qquad s\equiv\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}1=\dfrac{z-1}{1/3}

se pide:

a) Hallar la distancia del punto P a la recta r.

b) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s.

c) Hallar el plano perpendicular a la recta s y que pasa por el punto P.


Solución:

a) La distancia de un punto a una recta es:

\boxed{d(P,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}|}{|\vec v_r|}}

siendo P_r un punto cualquiera de la recta r y \vec v_r su vector director.
Escribimos la recta r en paramétricas haciendo el cambio x=λ:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2-2\lambda\\z=6-5\lambda\end{array}\right.

de donde obtenemos P_r=(0,2,6) y \vec v_r=(1,-2,-5). Luego:

\overrightarrow{PP_r}=(0,2,6)-(1,1,1)=(-1,1,5)

\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-2&-5\\-1&1&5\end{vmatrix}=-10\vec\imath+5\vec\jmath+\vec k-2\vec k-5\vec\jmath+5\vec\imath=(-5,0,-1)

Luego la distancia es:

d(P,r)=\dfrac{\sqrt{(-5)^2+0^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-5)^2}}=\dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\dfrac{13}{15}}\mbox{ u.l.}


b) Tenemos P_r=(0,2,6) y \vec v_r=(1,-2,-5), y sabemos que P_s=(2,-1,1) y \vec v_s es proporcional a (-1,1,1/3), por ejemplo \vec v_s=(-3,3,1).

Calculamos el vector \overrightarrow{P_rP_s}=(2,-1,1)-(0,2,6)=(2,-3,-5).
Entonces según se explica aquí, calculamos los siguientes rangos:

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}1&-2&-5\\-3&3&1\end{pmatrix}

que es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-2\\-3&3\end{vmatrix}\neq0.

Por otra parte calculamos:

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}1&-2&-5\\-3&3&1\\2&-3&-5\end{pmatrix}

que es 3 ya que \begin{vmatrix}1&-2&-5\\-3&3&1\\2&-3&-5\end{vmatrix}=-1\neq0

Por tanto, ambas rectas se cruzan sin cortarse.


c) Por ser perpendicular a s, el vector normal del plano π buscado es paralelo a al vector director de la recta s: \vec n_{\pi}=\vec v_s=(-3,3,1). Luego el plano π es de la forma:

\pi\equiv -3x+3y+z+D=0

Para calcular D imponemos que π pase por P(1,1,1):

-3\cdot 1+3\cdot 1+1+D=0~;\\\\D=-1

y por tanto \pi\equiv~-3x+3y+z-1=0.

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