Dados el punto P(1,1,1) y las rectas
se pide:
a) Hallar la distancia del punto P a la recta r.
b) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s.
c) Hallar el plano perpendicular a la recta s y que pasa por el punto P.
Solución:
a) La distancia de un punto a una recta es:
siendo un punto cualquiera de la recta r y
su vector director.
Escribimos la recta r en paramétricas haciendo el cambio x=λ:
de donde obtenemos y
. Luego:
Luego la distancia es:
b) Tenemos y
, y sabemos que
y
es proporcional a (-1,1,1/3), por ejemplo
.
Calculamos el vector .
Entonces según se explica aquí, calculamos los siguientes rangos:
que es 2 ya que .
Por otra parte calculamos:
que es 3 ya que
Por tanto, ambas rectas se cruzan sin cortarse.
c) Por ser perpendicular a s, el vector normal del plano π buscado es paralelo a al vector director de la recta s: . Luego el plano π es de la forma:
Para calcular D imponemos que π pase por P(1,1,1):
y por tanto .
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