Problema 383

Dados el punto P(1,1,1) y las rectas

$r\equiv\left\{\begin{array}{c}2x+y=2\\5x+z=6\end{array}\right.\qquad s\equiv\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}1=\dfrac{z-1}{1/3}$

se pide:

a) Hallar la distancia del punto P a la recta r.

b) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s.

c) Hallar el plano perpendicular a la recta s y que pasa por el punto P.

Solución:

a) La distancia de un punto a una recta es:

$\boxed{d(P,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}|}{|\vec v_r|}}$

siendo $P_r$ un punto cualquiera de la recta r y $\vec v_r$ su vector director.
Escribimos la recta r en paramétricas haciendo el cambio x=λ:

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2-2\lambda\\z=6-5\lambda\end{array}\right.$

de donde obtenemos $P_r=(0,2,6)$ y $\vec v_r=(1,-2,-5)$ . Luego:

$\overrightarrow{PP_r}=(0,2,6)-(1,1,1)=(-1,1,5)$

$\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-2&-5\\-1&1&5\end{vmatrix}=-10\vec\imath+5\vec\jmath+\vec k-2\vec k-5\vec\jmath+5\vec\imath=(-5,0,-1)$

Luego la distancia es:

$d(P,r)=\dfrac{\sqrt{(-5)^2+0^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-5)^2}}=\dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\dfrac{13}{15}}\mbox{ u.l.}$

b) Tenemos $P_r=(0,2,6)$ y $\vec v_r=(1,-2,-5)$ , y sabemos que $P_s=(2,-1,1)$ y $\vec v_s$ es proporcional a (-1,1,1/3), por ejemplo $\vec v_s=(-3,3,1)$ .

Calculamos el vector $\overrightarrow{P_rP_s}=(2,-1,1)-(0,2,6)=(2,-3,-5)$ .
Entonces según se explica aquí, calculamos los siguientes rangos:

$\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}1&-2&-5\\-3&3&1\end{pmatrix}$

que es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&-2\\-3&3\end{vmatrix}\neq0$ .

Por otra parte calculamos:

$\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}1&-2&-5\\-3&3&1\\2&-3&-5\end{pmatrix}$

que es 3 ya que $\begin{vmatrix}1&-2&-5\\-3&3&1\\2&-3&-5\end{vmatrix}=-1\neq0$

Por tanto, ambas rectas se cruzan sin cortarse.

c) Por ser perpendicular a s, el vector normal del plano π buscado es paralelo a al vector director de la recta s: $\vec n_{\pi}=\vec v_s=(-3,3,1)$ . Luego el plano π es de la forma: