Problema 384

En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El 75% de los productos fabricados son de tipo A y el 25% de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un 5% de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un 2.5% de las veces.

a) Si se fabrican 5000 productos en un mes, ¿cuántos de ellos se espera que sean defectuosos?

b) Un mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron 6000 unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de 160 unidades defectuosas.


Solución:

a) Comenzamos haciendo el diagrama de árbol del enunciado:

p384Calculamos la probabilidad de que los productos salgan defectuosos:

P[D]=P[A]\cdot P[D/A]+P[B]\cdot P[D/B]=0.75\cdot 0.025+0.25\cdot 0.05=0.03125

Por tanto, de 5000 productos fabricados se esperan que salgan defectuosos:

5000\cdot 0.03125=156.25

Alrededor de 156 productos saldrán defectuosos.


b) El número de productos defectuosos que salen sigue una distribución binomial B(n,p)=B(6000,0.025).
Aproximamos la binomial por una distribución normal N(np,\sqrt{npq})=N(150,12.1).
Nos piden calcular la probabilidad P[x>160]. Utilizando la corrección por continuidad P[x>160.5].
Tipificamos con la fórmula z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}:

P\left[z>\dfrac{160.5-150}{12.1}\right]=P[z>0.868]=1-P[z<0.868]

Utilizamos la tabla de probabilidades de la distribución normal según la cual

\begin{array}{|c|c|}\hline z&p\\\hline0.86&0.8051\\\hline 0.87&0.8078\\\hline\end{array}

Interpolamos para obtener el valor de P[z<0.868]=p

\dfrac{p-0.8051}{0.868-0.86}=\dfrac{0.8078-0.8051}{0.87-0.86}~;\\\\p=P[z<0.868]=0.8070

Luego P[z>0.868]=1-P[z<0.868]=0.193, es decir, la probabilidad de que haya más de 160 unidades defectuosas es del 19.3%.

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