Problema 385

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}14&0&10\\0&7&5\\3&4&5\alpha\end{pmatrix}\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}2\\37/2\\11\end{pmatrix}

a) Discutir el rango de la matriz A, en función de los valores del parámetro α.

b) Para α=0, calcular, si es posible, A⁻¹.

c) Resolver, si es posible, el sistema AX=B, en el caso α=1.


Solución:

a) Calculamos el determinante de A:

\begin{vmatrix}14&0&10\\0&7&5\\3&4&5\alpha\end{vmatrix}=490\alpha-210-280=490\alpha-490

determinante que vale 0 si α=1, por tanto:

  • Si α≠1, el rango de A es 3.
  • Si α=1, el rango de A es 2 ya que \begin{vmatrix}0&7\\3&4\end{vmatrix}\neq0.

b) Para α=0 sí existe la matriz inversa de A ya que |A|=-490\neq0.
Calculamos la matriz inversa con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}-20&15&-21\\40&-30&-56\\-70&-70&98\end{pmatrix}

Luego

A^{-1}=\dfrac 1{-490}\begin{pmatrix}-20&40&-70\\15&-30&-70\\-21&-56&98\end{pmatrix}


c) En el caso α=1 la matriz de coeficientes A tiene rango 2. Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}14&0&2\\0&7&37/2\\3&4&11\end{vmatrix}=0

luego el rango de la matriz ampliada también es 2, y según dice el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado.

El sistema AX=B es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}7y+5z&=37/2\\3x+4y+5z&=11\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{rl}7y&=37/2-5\lambda\\3x+4y&=11-5\lambda\end{array}\right.

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}37/2-5\lambda&7\\11-5\lambda&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&7\\3&4\end{vmatrix}}=\dfrac{-3+15\lambda}{-21}=\dfrac{1-5\lambda}7

y=\dfrac{\begin{vmatrix}0&37/2-5\lambda\\3&11-5\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&7\\3&4\end{vmatrix}}=\dfrac{-111/2+15\lambda}{-21}=\dfrac{111-30\lambda}{42}

La solución es: (x,y,z)=\left(\dfrac{1-5\lambda}7,\dfrac{111-30\lambda}{42},\lambda\right)

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