Dadas las matrices

a) Discutir el rango de la matriz A, en función de los valores del parámetro α.

b) Para α=0, calcular, si es posible, A⁻¹.

c) Resolver, si es posible, el sistema AX=B, en el caso α=1.

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Solución:

a) Calculamos el determinante de A:

determinante que vale 0 si α=1, por tanto:

• Si α≠1, el rango de A es 3.
• Si α=1, el rango de A es 2 ya que .

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b) Para α=0 sí existe la matriz inversa de A ya que .
Calculamos la matriz inversa con la fórmula:

Luego

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c) En el caso α=1 la matriz de coeficientes A tiene rango 2. Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:

luego el rango de la matriz ampliada también es 2, y según dice el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado.

El sistema AX=B es equivalente a:

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

La solución es:

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