Problema 386

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II, ,

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}8e^{2x-4}&\mbox{si}&x\leq 2\\\\\dfrac{x^3-4x}{x-2}&\mbox{si}&x>2\end{array}\right.
y se pide:

a) Estudiar la continuidad de f en x=2.

b) Calcular las asíntotas horizontales de f. ¿Hay alguna asíntota vertical?

c) Calcular \displaystyle \int_0^2f(x)~dx.

Solución:

a) Continuidad en x=2.

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^3-4x}{x-2}=\dfrac00=\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x(x^2-4)}{x-2}=\\\\=\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2^+}x(x+2)=8\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow2^-}8e^{2x-4}=8\\\\\bullet f(2)=8e^{2\cdot 2-4}=8

por lo que f es continua en x=2.

b) Asíntotas horizontales.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}8e^{2x-4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}8e^{-2x-4}=0\\\\\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3-4x}{x-2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2=+\infty

Esta función se aproxima asintóticamente a la función y=0 cuando x→-∞.

En cuanto a las asíntotas verticales, el dominio de esta función es \mathbb R, por lo que no tiene asíntotas verticales.

c) La integral a calcular es inmediata:

\displaystyle \int_0^28e^{2x-4}~dx=4\int_0^22e^{2x-4}~dx=4\left[e^{2x-4}\right]_0^2=\\\\=4(1-e^{-4})=\dfrac{4e^4-4}{e^4}\mbox{ u.a.}

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