Problema 386

Se considera la función $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}8e^{2x-4}&\mbox{si}&x\leq 2\\\\\dfrac{x^3-4x}{x-2}&\mbox{si}&x>2\end{array}\right.$
y se pide:

a) Estudiar la continuidad de f en x=2.

b) Calcular las asíntotas horizontales de f. ¿Hay alguna asíntota vertical?

c) Calcular $\displaystyle \int_0^2f(x)~dx.$

Solución:

a) Continuidad en x=2.

$\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^3-4x}{x-2}=\dfrac00=\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x(x^2-4)}{x-2}=\\\\=\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2^+}x(x+2)=8\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow2^-}8e^{2x-4}=8\\\\\bullet f(2)=8e^{2\cdot 2-4}=8$

por lo que f es continua en x=2.

b) Asíntotas horizontales.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}8e^{2x-4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}8e^{-2x-4}=0\\\\\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3-4x}{x-2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2=+\infty$