Problema 387

Se consideran los vectores $\vec u=(-1,2,3),\,\vec v=(2,0,-1)$ y el punto A(-4,4,7). Se pide:

a) Determinar un vector $\vec w_1$ que sea ortogonal a $\vec u\mbox{ y }\vec v$ , unitario y con tercera coordenada negativa.
b) Hallar un vector no nulo $\vec w_2$ que sea combinación lineal de $\vec u\mbox{ y }\vec v$ y ortogonal a $\vec v.$
c) Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores $\vec u\mbox{ y }\vec v$ y una de sus diagonales es el segmento $\overline{OA}.$

Solución:

a) Calculando el producto vectorial de $\vec u\mbox{ y }\vec v$ , obtenemos un vector ortogonal a ambos:

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&2&3\\2&0&-1\end{vmatrix}=-2\vec\imath+6\vec\jmath-4\vec k-\vec\jmath=(-2,5,-4)$

Dividiendo este vector por su módulo obtenemos el vector unitario buscado:

$\vec w_1=\dfrac{(-2,5,-4)}{\sqrt{(-2)^2+5^2+(-4)^2}}=\dfrac{(-2,5,-4)}{\sqrt{45}}=(\frac{-2}{3\sqrt5},\frac{5}{3\sqrt5},\frac{-4}{3\sqrt5})$

que además tiene tercera coordenada negativa.
Si la tercera componente no hubiera salido negativa, el resultado sería el opuesto de este vector.

b) Para que $\vec w_2$ sea combinación lineal de $\vec u\mbox{ y }\vec v$ se debe cumplir que existan α y β tales que:

$\vec w_2=\alpha\vec u+\beta\vec v=\alpha(-1,2,3)+\beta(2,0,-1)$

luego $\vec w_2=(-\alpha+2\beta,2\alpha,3\alpha-\beta)$ .
Por otro lado, $\vec w_2\mbox{ y }\vec v$ han de ser perpendiculares por lo que:

$\vec w_2\cdot\vec v=(-\alpha+2\beta,2\alpha,3\alpha-\beta)(2,0,-1)=-2\alpha+4\beta-3\alpha+\beta=-5\alpha+5\beta=0$

de donde α=β.
Luego el vector buscado es de la forma $\vec w_2=(\alpha,2\alpha,2\alpha)$ , por ejemplo, para α=1, $\vec w_2=(1,2,2)$ .

c) Como el segmento $\overline{OA}$ corresponde a la diagonal, entonces O(0,0,0) y A(-4,4,7) son vértices opuestos del paralelogramo. Queda solo calcular los otros dos vértices.

Dice que los lados tienen que tener la dirección de los vectores $\vec u\mbox{ y }\vec v$ , luego:

$\overrightarrow{OA}=\alpha\vec u+\beta\vec v~;\\\\(-4,4,7)=\alpha(-1,2,3)+\beta(2,0,-1)$

de donde

$\left\{\begin{array}{rl}-4&=-\alpha+2\beta\\4&=2\alpha\\7&=3\alpha-\beta\end{array}\right.$

Sistema cuya solución es α=2 y β=-1. Luego, si el paralelogramo tiene vértices OBAC, el vértice B forma con O el vector $\overrightarrow{OB}=2\vec u=(-2,4,6)$ , por tanto: