Se consideran los vectores y el punto A(-4,4,7). Se pide:
a) Determinar un vector que sea ortogonal a
, unitario y con tercera coordenada negativa.
b) Hallar un vector no nulo que sea combinación lineal de
y ortogonal a
c) Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores y una de sus diagonales es el segmento
Solución:
a) Calculando el producto vectorial de , obtenemos un vector ortogonal a ambos:
Dividiendo este vector por su módulo obtenemos el vector unitario buscado:
que además tiene tercera coordenada negativa.
Si la tercera componente no hubiera salido negativa, el resultado sería el opuesto de este vector.
b) Para que sea combinación lineal de
se debe cumplir que existan α y β tales que:
luego .
Por otro lado, han de ser perpendiculares por lo que:
de donde α=β.
Luego el vector buscado es de la forma , por ejemplo, para α=1,
.
c) Como el segmento corresponde a la diagonal, entonces O(0,0,0) y A(-4,4,7) son vértices opuestos del paralelogramo. Queda solo calcular los otros dos vértices.
Dice que los lados tienen que tener la dirección de los vectores , luego:
de donde
Sistema cuya solución es α=2 y β=-1. Luego, si el paralelogramo tiene vértices OBAC, el vértice B forma con O el vector , por tanto:
Igualmente, el vértice C con el vértice O forma el vector de donde:
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