Problema 387

Se consideran los vectores \vec u=(-1,2,3),\,\vec v=(2,0,-1) y el punto A(-4,4,7). Se pide:

a) Determinar un vector \vec w_1 que sea ortogonal a \vec u\mbox{ y }\vec v, unitario y con tercera coordenada negativa.
b) Hallar un vector no nulo \vec w_2 que sea combinación lineal de \vec u\mbox{ y }\vec v y ortogonal a \vec v.
c) Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores \vec u\mbox{ y }\vec v y una de sus diagonales es el segmento \overline{OA}.


Solución:

a) Calculando el producto vectorial de \vec u\mbox{ y }\vec v, obtenemos un vector ortogonal a ambos:

\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&2&3\\2&0&-1\end{vmatrix}=-2\vec\imath+6\vec\jmath-4\vec k-\vec\jmath=(-2,5,-4)

Dividiendo este vector por su módulo obtenemos el vector unitario buscado:

\vec w_1=\dfrac{(-2,5,-4)}{\sqrt{(-2)^2+5^2+(-4)^2}}=\dfrac{(-2,5,-4)}{\sqrt{45}}=(\frac{-2}{3\sqrt5},\frac{5}{3\sqrt5},\frac{-4}{3\sqrt5})

que además tiene tercera coordenada negativa.
Si la tercera componente no hubiera salido negativa, el resultado sería el opuesto de este vector.


b) Para que \vec w_2 sea combinación lineal de \vec u\mbox{ y }\vec v se debe cumplir que existan α y β tales que:

\vec w_2=\alpha\vec u+\beta\vec v=\alpha(-1,2,3)+\beta(2,0,-1)

luego \vec w_2=(-\alpha+2\beta,2\alpha,3\alpha-\beta).
Por otro lado, \vec w_2\mbox{ y }\vec v han de ser perpendiculares por lo que:

\vec w_2\cdot\vec v=(-\alpha+2\beta,2\alpha,3\alpha-\beta)(2,0,-1)=-2\alpha+4\beta-3\alpha+\beta=-5\alpha+5\beta=0

de donde α=β.
Luego el vector buscado es de la forma \vec w_2=(\alpha,2\alpha,2\alpha), por ejemplo, para α=1, \vec w_2=(1,2,2).


c) Como el segmento \overline{OA} corresponde a la diagonal, entonces O(0,0,0) y A(-4,4,7) son vértices opuestos del paralelogramo. Queda solo calcular los otros dos vértices.

Dice que los lados tienen que tener la dirección de los vectores \vec u\mbox{ y }\vec v, luego:

\overrightarrow{OA}=\alpha\vec u+\beta\vec v~;\\\\(-4,4,7)=\alpha(-1,2,3)+\beta(2,0,-1)

de donde

\left\{\begin{array}{rl}-4&=-\alpha+2\beta\\4&=2\alpha\\7&=3\alpha-\beta\end{array}\right.

Sistema cuya solución es α=2 y β=-1. Luego, si el paralelogramo tiene vértices OBAC, el vértice B forma con O el vector \overrightarrow{OB}=2\vec u=(-2,4,6), por tanto:

B=(-2,4,6)-(0,0,0)=(-2,4,6)

Igualmente, el vértice C con el vértice O forma el vector \overrightarrow{OC}=-\vec v=(-2,0,1) de donde:

C=(-2,0,1)-(0,0,0)=(-2,0,1)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s