Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el 13.8% de los españoles mayores de 18 años tiene diabetes, aunque el 43% de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de 18 años.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa?, ¿cuál la de que no sea diabético o no sepa que lo es?
b) Cierto test diagnostica correctamente el 96% de los casos positivos de diabetes, pero da un 2% de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea diabético?
Solución:
Hacemos un diagrama de árbol de la situación planteada:
donde D es el suceso tener diabetes y el suceso S significa que lo sabe.
a) Probabilidad de que sea diabético y lo sepa:
![P[D\cap S]=P[D]\cdot P[S/D]=0.138\cdot 0.57=0.0787](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BD%5Ccap+S%5D%3DP%5BD%5D%5Ccdot+P%5BS%2FD%5D%3D0.138%5Ccdot+0.57%3D0.0787&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002)
b) Para este apartado necesitamos hacer un nuevo diagrama de árbol:
donde D significa ser diabético y P es el suceso dar positivo en el test.
Sabiendo que una persona ha dado positivo en el test, la probabilidad de que realmente tenga diabetes es (utilizando el teorema de Bayes):
![P[D/P]=\dfrac{P[D]\cdot P[P/D]}{P[P]}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BD%2FP%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BD%5D%5Ccdot+P%5BP%2FD%5D%7D%7BP%5BP%5D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002)
siendo:
![P[P]=P[D]\cdot P[P/D]+P[\overline{D}]\cdot P[P/\overline{D}]=\\\\=0.138\cdot 0.96+0.862\cdot 0.02=0.1497](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BP%5D%3DP%5BD%5D%5Ccdot+P%5BP%2FD%5D%2BP%5B%5Coverline%7BD%7D%5D%5Ccdot+P%5BP%2F%5Coverline%7BD%7D%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D0.138%5Ccdot+0.96%2B0.862%5Ccdot+0.02%3D0.1497&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002)
Luego
![P[D/P]=\dfrac{0.138\cdot 0.96}{0.1497}=0.885](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BD%2FP%5D%3D%5Cdfrac%7B0.138%5Ccdot+0.96%7D%7B0.1497%7D%3D0.885&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002)
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