Problema 388

Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el 13.8% de los españoles mayores de 18 años tiene diabetes, aunque el 43% de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de 18 años.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa?, ¿cuál la de que no sea diabético o no sepa que lo es?

b) Cierto test diagnostica correctamente el 96% de los casos positivos de diabetes, pero da un 2% de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea diabético?


Solución:

Hacemos un diagrama de árbol de la situación planteada:

p388donde D es el suceso tener diabetes y el suceso S significa que lo sabe.

a) Probabilidad de que sea diabético y lo sepa:

P[D\cap S]=P[D]\cdot P[S/D]=0.138\cdot 0.57=0.0787


b) Para este apartado necesitamos hacer un nuevo diagrama de árbol:

p388b

donde D significa ser diabético y P es el suceso dar positivo en el test.

Sabiendo que una persona ha dado positivo en el test, la probabilidad de que realmente tenga diabetes es (utilizando el teorema de Bayes):

P[D/P]=\dfrac{P[D]\cdot P[P/D]}{P[P]}

siendo:

P[P]=P[D]\cdot P[P/D]+P[\overline{D}]\cdot P[P/\overline{D}]=\\\\=0.138\cdot 0.96+0.862\cdot 0.02=0.1497

Luego

P[D/P]=\dfrac{0.138\cdot 0.96}{0.1497}=0.885

Más problemas de probabilidad.

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