Problema 389

Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.


Solución:

Cada día han gastado en cada país:

  • Francia: 20+20+8=48€
  • Alemania: 25+15+8=48€
  • Suiza: 30+25+8=63€

Sea x el número de días en Francia, y el número de días en Alemania y z el número de días en Suiza.
Se sabe que el gasto total del viaje ha sido de 765 euros, de donde:

48x+48y+63z=765

También se sabe que el viaje ha durado 15 días, de donde:

x+y+z=15

Y por último, que han estado en Francia el doble de días que en Suiza:

x=2z

Hemos de resolver el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}48x+48y+63z&=765\\x+y+z&=15\\x-2z&=0\end{array}\right.

Siendo la matriz de coeficientes M=\begin{pmatrix}48&48&63\\1&1&1\\1&0&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 3 ya que |M|=-15\neq0, sabemos, por el teorema de Rouché-Fröbenius que el sistema es compatible determinado. Solo tenemos que resolverlo utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}765&48&63\\15&1&1\\0&0&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}48&48&63\\1&1&1\\1&0&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-90}{-15}=6

y=\dfrac{\begin{vmatrix}48&765&63\\1&15&1\\1&0&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}48&48&63\\1&1&1\\1&0&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-90}{-15}=6

z=\dfrac{\begin{vmatrix}48&48&765\\1&1&15\\1&0&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}48&48&63\\1&1&1\\1&0&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-45}{-15}=3

Luego estuvieron 6 días en Francia, 6 días en Alemania y 3 días en Suiza.

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