El dibujo adjunto muestra la gráfica de una función 
a) Indicar los valores de f(-1) y f´(1).
b) Justificar, usando límites laterales, si f es continua en los puntos x=-1 y x=0.
c)Indicar razonadamente si f es derivable en los puntos x=-1 y x=0.
d) Determinar el valor de 
Solución:
a) Según la gráfica 
b) Continuidad en x=-1.
por lo que f es continua en x=-1.
Continuidad en x=0
luego, f presenta una discontinuidad de salto finito en x=0.
c) En x=0 la función f no puede ser derivable porque no es continua.
A simple vista, en x=-1 la función f presenta un punto anguloso por lo que f no es derivable en ese punto.
Vamos a demostrar analíticamente este resultado, para ello vamos a definir la función f.
Esta se compone de una recta creciente que pasa por los puntos (-2,0) y (-1,1). De otra recta decreciente que pasa por los puntos (-1,1) y (0,0), y de otra función g que parece parabólica pero que no necesitamos conocer.
Con estos datos definimos la función f de la siguiente manera:
Estudiamos la derivabilidad en x=-1:
por lo que f no es derivable en x=-1.
d) Entre x=-2 y x=0, la función f forma con el eje x un triángulo cuya base vale 2 u.l. y cuya altura es 1 u.l. luego el área del triángulo es
Por tanto:
De manera analítica la solución del problema sería:
![\displaystyle \int_{-2}^0f(x)~dx=\int_{-2}^{-1}x+2~dx+\int_{-1}^0-x~dx=\\\\=\left[\frac{x^2}2+2x\right]_{-2}^{-1}+\left[-\frac{x^2}2\right]_{-1}^0=\\\\=\left(\frac 12-2\right)-(2-4)+\frac 12=1](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7B-2%7D%5E0f%28x%29%7Edx%3D%5Cint_%7B-2%7D%5E%7B-1%7Dx%2B2%7Edx%2B%5Cint_%7B-1%7D%5E0-x%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D2%2B2x%5Cright%5D_%7B-2%7D%5E%7B-1%7D%2B%5Cleft%5B-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D2%5Cright%5D_%7B-1%7D%5E0%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cfrac+12-2%5Cright%29-%282-4%29%2B%5Cfrac+12%3D1&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle \int_{-2}^0f(x)~dx=\int_{-2}^{-1}x+2~dx+\int_{-1}^0-x~dx=\\\\=\left[\frac{x^2}2+2x\right]_{-2}^{-1}+\left[-\frac{x^2}2\right]_{-1}^0=\\\\=\left(\frac 12-2\right)-(2-4)+\frac 12=1")
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