El dibujo adjunto muestra la gráfica de una función
. Usando la información de la figura, se pide:
a) Indicar los valores de f(-1) y f´(1).
b) Justificar, usando límites laterales, si f es continua en los puntos x=-1 y x=0.
c)Indicar razonadamente si f es derivable en los puntos x=-1 y x=0.
d) Determinar el valor de .
Solución:
a) Según la gráfica y
ya que en x=1 la función f presenta un mínimo.
b) Continuidad en x=-1.
por lo que f es continua en x=-1.
Continuidad en x=0
luego, f presenta una discontinuidad de salto finito en x=0.
c) En x=0 la función f no puede ser derivable porque no es continua.
A simple vista, en x=-1 la función f presenta un punto anguloso por lo que f no es derivable en ese punto.
Vamos a demostrar analíticamente este resultado, para ello vamos a definir la función f.
Esta se compone de una recta creciente que pasa por los puntos (-2,0) y (-1,1). De otra recta decreciente que pasa por los puntos (-1,1) y (0,0), y de otra función g que parece parabólica pero que no necesitamos conocer.
Con estos datos definimos la función f de la siguiente manera:
Estudiamos la derivabilidad en x=-1:
por lo que f no es derivable en x=-1.
d) Entre x=-2 y x=0, la función f forma con el eje x un triángulo cuya base vale 2 u.l. y cuya altura es 1 u.l. luego el área del triángulo es
Por tanto:
De manera analítica la solución del problema sería:
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