Problema 390

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II, ,

p390El dibujo adjunto muestra la gráfica de una función y=f(x). Usando la información de la figura, se pide:

a) Indicar los valores de f(-1) y f´(1).
b) Justificar, usando límites laterales, si f es continua en los puntos x=-1 y x=0.
c)Indicar razonadamente si f es derivable en los puntos x=-1 y x=0.
d) Determinar el valor de \displaystyle \int_{-2}^0f(x)~dx.

Solución:

a) Según la gráfica f(-1)=1 y f'(1)=0 ya que en x=1 la función f presenta un mínimo.

b) Continuidad en x=-1.

\displaystyle \bullet\lim_{x\rightarrow-1^+}f(x)=1\\\bullet\lim_{x\rightarrow-1^-}f(x)=1\\\bullet f(-1)=1

por lo que f es continua en x=-1.

Continuidad en x=0

\displaystyle \bullet\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=1\\\bullet\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0\\\bullet f(0)=0

luego, f presenta una discontinuidad de salto finito en x=0.

c) En x=0 la función f no puede ser derivable porque no es continua.

A simple vista, en x=-1 la función f presenta un punto anguloso por lo que f no es derivable en ese punto.

Vamos a demostrar analíticamente este resultado, para ello vamos a definir la función f.
Esta se compone de una recta creciente que pasa por los puntos (-2,0) y (-1,1). De otra recta decreciente que pasa por los puntos (-1,1) y (0,0), y de otra función g que parece parabólica pero que no necesitamos conocer.
Con estos datos definimos la función f de la siguiente manera:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x+2&\mbox{si}&x\leq-1\\-x&\mbox{si}&-1<x\leq-0\\g(x)&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad en x=-1:

\displaystyle\bullet~f'(-1^-)=\lim_{x\rightarrow-1^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow-1^-}1=1\\\\\bullet~f'(-1^+)=\lim_{x\rightarrow-1^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow-1^+}-1=-1

por lo que f no es derivable en x=-1.

d) Entre x=-2 y x=0, la función f forma con el eje x un triángulo cuya base vale 2 u.l. y cuya altura es 1 u.l. luego el área del triángulo es S=\dfrac{2\cdot 1}2=1\mbox{ u.a.}
Por tanto:

\displaystyle \int_{-2}^0f(x)~dx=1

De manera analítica la solución del problema sería:

\displaystyle \int_{-2}^0f(x)~dx=\int_{-2}^{-1}x+2~dx+\int_{-1}^0-x~dx=\\\\=\left[\frac{x^2}2+2x\right]_{-2}^{-1}+\left[-\frac{x^2}2\right]_{-1}^0=\\\\=\left(\frac 12-2\right)-(2-4)+\frac 12=1

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