Problema 391

Dados el punto P(0,-1,1) y la recta r, que pasa por el punto Q(1,0,1) y tiene como vector director \vec v=(0,1,2), se pide:

a) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a r y pasa por P.
b) Encontrar el punto S contenido en r tal que el vector \overrightarrow{SP} sea perpendicular a la recta r.
c) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto P y dos puntos T_1,\,T_2, contenidos en la recta r, que están a distancia \sqrt{5} de P.


Solución:

a) El plano que piden esta formado por el punto P(0,-1,1) y los vectores \overrightarrow{PQ}=(1,0,1)-(0,-1,1)=(1,1,0) y \vec v=(0,1,2):

\begin{vmatrix}x&y+1&z-1\\1&1&0\\0&1&2\end{vmatrix}=2x+z-1-2y-2=2x-2y+z-3

Luego el plano buscado es: 2x-2y+z-3=0.


b) Escribimos la recta r en paramétricas:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=\lambda\\z=1+2\lambda\end{array}\right.

Entonces, como el punto S pertenece a la recta r, sus coordenadas son S=(1,\lambda,1+2\lambda).

Calculamos el vector

\overrightarrow{SP}=(0,-1,1)-(1,\lambda,1+2\lambda)=(-1,-1-\lambda,-2\lambda)

e imponemos que sea perpendicular a \vec v:

\overrightarrow{SP}\cdot\vec v=(-1,-1-\lambda,-2\lambda)\cdot(0,1,2)=-1-\lambda-4\lambda=-1-5\lambda=0\\\\\lambda=\frac{-1}5

Luego el punto S es: (1,\frac{-1}5,\frac 35).


c) Primero calculamos los puntos T_1 y T_2 de la recta r que distan \sqrt 5 del punto P. Para ello recordamos que la distancia de un punto a otro punto es:

\boxed{d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}}

Recordamos que P(0,-1,1) y que un punto T de r tiene la forma T=(1,\lambda,1+2\lambda).
Entonces, la distancia de P a un punto T de r será:

d(P,T)=\sqrt{(0-1)^2+(-1-\lambda)^2+(1-1-2\lambda)^2}=\\\\=\sqrt{1+1+\lambda^2+2\lambda+4\lambda^2}=\sqrt{5\lambda^2+2\lambda+2}

Igualamos esta distancia a \sqrt 5 y resolvemos:

\sqrt{5\lambda^2+2\lambda+2}=\sqrt 5~;\\\\5\lambda^2+2\lambda+2=5~;\\\\5\lambda^2+2\lambda-3=0

ecuación cuyas soluciones son \lambda=-1 y \lambda=\frac 35.
Por tanto, con \lambda=-1 tenemos el punto T_1=(1,-1,-1) y con \lambda=\frac 35 tenemos el punto T_2=(1,\frac 35,\frac{11}5).

Ya conocemos los puntos T_1 y T_2, queda calcular el área del triángulo formado por esos dos puntos y P.
Calculamos los vectores:

  • \overrightarrow{PT_1}=(1,-1,-1)-(0,-1,1)=(1,0,-2)
  • \overrightarrow{PT_2}=(1,\frac 35,\frac{11}5)-(0,-1,1)=(1,\frac 85,\frac 65)

El área A del triángulo formado por estos dos vectores es:

A=\dfrac{|\overrightarrow{PT_1}\times\overrightarrow{PT_2}|}2

\overrightarrow{PT_1}\times\overrightarrow{PT_2}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-2\\1&\frac 85&\frac 65\end{vmatrix}=\dfrac 15\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-2\\5&8&6\end{vmatrix}=\\\\=\dfrac 15(-10\vec\jmath+8\vec k-6\vec\jmath+16\vec\imath)=\dfrac 15(16,-16,8)=(\frac{16}5,\frac{-16}5,\frac 85)

Luego

A=\dfrac{\sqrt{(\frac{16}5)^2+(\frac{-16}5)^2+(\frac 85)^2}}2=\dfrac{\frac{24}5}2=\dfrac{12}5\mbox{ u.a.}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s