Problema 392

La variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ=8.5 y desviación típica σ=2.5. Se pide:

a) Calcular el valor de a tal que P(X\leq a)=0.05.
b) Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 8 y 9.3.


Solución:

a) Dado que:

P[X\leq a]=P[Z\leq z]

siendo z=\dfrac{a-\mu}\sigma, calculamos z para la que P[Z\leq z]=0.05.

Como la probabilidad es menor de 0.5 entonces significa que z es menor que 0. En este caso hacemos el cambio:

P[Z\leq z]=1-P[Z\leq-z]=0.05~;\\\\P[Z\leq-z]=0.95

Buscamos en la tabla de probabilidades esta probabilidad. Viendo en la tabla resulta que –z=1.645 de donde z=-1.645.
Calculamos a:

z=\dfrac{a-\mu}\sigma~;\\\\a=z\sigma+\mu=-1.645\cdot 2.5+8.5=4.39


b) Nos piden la probabilidad P[8\leq X\leq9.3].
Primero tipificamos los dos extremos del intervalo:

z=\dfrac{8-8.5}{2.5}=-0.2\\\\z=\dfrac{9.3-8.5}{2.5}=0.32

luego

P[8\leq X\leq9.3]=P[-0.2\leq Z\leq0.32]=P[Z\leq0.32]-P[Z\leq-0.2]=\\\\=P[Z\leq0.32]-1+P[Z\leq0.2]=\\\\=0.6255-1+0.5793=0.2048

Más problemas de distribuciones de probabilidad.

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