La variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ=8.5 y desviación típica σ=2.5. Se pide:
a) Calcular el valor de a tal que
b) Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 8 y 9.3.
Solución:
a) Dado que:
![P[X\leq a]=P[Z\leq z]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BX%5Cleq+a%5D%3DP%5BZ%5Cleq+z%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[X\leq a]=P[Z\leq z]")
siendo 
![P[Z\leq z]=0.05](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BZ%5Cleq+z%5D%3D0.05&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[Z\leq z]=0.05")
Como la probabilidad es menor de 0.5 entonces significa que z es menor que 0. En este caso hacemos el cambio:
![P[Z\leq z]=1-P[Z\leq-z]=0.05~;\\\\P[Z\leq-z]=0.95](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BZ%5Cleq+z%5D%3D1-P%5BZ%5Cleq-z%5D%3D0.05%7E%3B%5C%5C%5C%5CP%5BZ%5Cleq-z%5D%3D0.95&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[Z\leq z]=1-P[Z\leq-z]=0.05~;\\\\P[Z\leq-z]=0.95")
Buscamos en la tabla de probabilidades esta probabilidad. Viendo en la tabla resulta que –z=1.645 de donde z=-1.645.
Calculamos a:
b) Nos piden la probabilidad ![P[8\leq X\leq9.3]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B8%5Cleq+X%5Cleq9.3%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[8\leq X\leq9.3]")
Primero tipificamos los dos extremos del intervalo:
luego
![P[8\leq X\leq9.3]=P[-0.2\leq Z\leq0.32]=P[Z\leq0.32]-P[Z\leq-0.2]=\\\\=P[Z\leq0.32]-1+P[Z\leq0.2]=\\\\=0.6255-1+0.5793=0.2048](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B8%5Cleq+X%5Cleq9.3%5D%3DP%5B-0.2%5Cleq+Z%5Cleq0.32%5D%3DP%5BZ%5Cleq0.32%5D-P%5BZ%5Cleq-0.2%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3DP%5BZ%5Cleq0.32%5D-1%2BP%5BZ%5Cleq0.2%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D0.6255-1%2B0.5793%3D0.2048&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[8\leq X\leq9.3]=P[-0.2\leq Z\leq0.32]=P[Z\leq0.32]-P[Z\leq-0.2]=\\\\=P[Z\leq0.32]-1+P[Z\leq0.2]=\\\\=0.6255-1+0.5793=0.2048")
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