Problema 392

La variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ=8.5 y desviación típica σ=2.5. Se pide:

a) Calcular el valor de a tal que $P(X\leq a)=0.05.$
b) Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 8 y 9.3.

Solución:

a) Dado que:

$P[X\leq a]=P[Z\leq z]$

siendo $z=\dfrac{a-\mu}\sigma$ , calculamos z para la que $P[Z\leq z]=0.05$ .

Como la probabilidad es menor de 0.5 entonces significa que z es menor que 0. En este caso hacemos el cambio:

$P[Z\leq z]=1-P[Z\leq-z]=0.05~;\\\\P[Z\leq-z]=0.95$

Buscamos en la tabla de probabilidades esta probabilidad. Viendo en la tabla resulta que –z=1.645 de donde z=-1.645.
Calculamos a:

$z=\dfrac{a-\mu}\sigma~;\\\\a=z\sigma+\mu=-1.645\cdot 2.5+8.5=4.39$

b) Nos piden la probabilidad $P[8\leq X\leq9.3]$ .
Primero tipificamos los dos extremos del intervalo:

$z=\dfrac{8-8.5}{2.5}=-0.2\\\\z=\dfrac{9.3-8.5}{2.5}=0.32$

luego

$P[8\leq X\leq9.3]=P[-0.2\leq Z\leq0.32]=P[Z\leq0.32]-P[Z\leq-0.2]=\\\\=P[Z\leq0.32]-1+P[Z\leq0.2]=\\\\=0.6255-1+0.5793=0.2048$

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