Problema 393

Dado el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&+&ay&+&z&=&a\\x&-&4y&+&(a+1)z&=&1\\&&4y&-&az&=&0\end{array}\right.

se pide:

a) Discutirlo en función de los valores del parámetro real a.
b) Resolver el sistema para a=1.
c) Resolver el sistema para a=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

M=\begin{pmatrix}2&a&1\\1&-4&a+1\\0&4&-a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&a&1&a\\1&-4&a+1&1\\0&4&-a&0\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M utilizando su determinante:

\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&a+1\\0&4&-a\end{vmatrix}=8a+4+a^2-8a-8=a^2-4

determinante cuyas raíces son a=±2. Por tanto:

  • Si a≠2 y a≠-2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema será compatible determinado.
  • Si a=2, entonces M=\begin{pmatrix}2&2&1\\1&-4&3\\0&4&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-4\\0&4\end{vmatrix}\neq0.
    Veamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&2&2\\1&-4&1\\0&4&0\end{vmatrix}=0
    Luego el rango de M* también es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=-2, entonces M=\begin{pmatrix}2&-2&1\\1&-4&-1\\0&4&2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-4\\0&4\end{vmatrix}\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&-2&-2\\1&-4&1\\0&4&0\end{vmatrix}\neq0
    Luego el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=1 el sistema es compatible determinado como demostramos anteriormente. Para resolverlo utilizamos la regla de Cramer:

M=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&-4&2\\0&4&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&1&1&1\\1&-4&2&1\\0&4&-1&0\end{pmatrix}

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-4&2\\0&4&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&-4&2\\0&4&-1\end{vmatrix}}=\dfrac 1{-3}

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&1&2\\0&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&-4&2\\0&4&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac 13

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&-4&1\\0&4&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&-4&2\\0&4&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-4}{-3}=\dfrac 43


c) Para a=2, el sistema es compatible indeterminado por lo que el sistema equivalente sería:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&4y&+&3z&=&1\\&&4y&-&2z&=&0\end{array}\right.

Resolvemos el sistema haciendo el cambio z=2λ:

\left\{\begin{array}{ccccc}x&-&4y&=&1-6\lambda\\&&4y&=&4\lambda\end{array}\right.

de donde resulta y=λ y:

x=1-6\lambda+4\lambda=1-2\lambda

La solución del sistema es por tanto (x,y,z)=(1-2\lambda,\lambda,2\lambda).

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