Problema 394

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, ,

Dados los puntos P(1,-2,1), Q(-4,0,1), R(-3,1,2), S(0,-3,0), se pide:

a) Hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R.
b) Estudiar la posición relativa de la recta r, que pasa por los puntos P y Q, y la recta s, que pasa por R y S.
c) Hallar el área del triángulo formado por los puntos P, Q y R.

Solución:

a) Para construir dicho plano necesitamos un punto y dos vectores, por ejemplo \{P,~\overrightarrow{PQ},~\overrightarrow{PR}\}.

\overrightarrow{PQ}=(-4,0,1)-(1,-2,1)=(-5,2,0)\\\\\overrightarrow{PR}=(-3,1,2)-(1,-2,1)=(-4,3,1)

Calculamos la ecuación implícita de dicho plano:

\begin{vmatrix}x-1&y+2&z-1\\-5&2&0\\-4&3&1\end{vmatrix}=2x-2-15z+15+8z-8+5y+10=2x+5y-7z+15

Luego el plano buscado es: 2x+5y-7z+15=0

b) Según recordamos aquí, para estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio necesitamos un punto de la recta y su vector director.
De la recta r un punto es P(1,-2,1) y su vector director es \vec v_r=\overrightarrow{PQ}=(-5,2,0).
De la recta s un punto sería R(-3,1,2) y su vector director \vec v_s=\overrightarrow{RS}=(0,-3,0)-(-3,1,2)=(3,-4,-2).

Calculamos el rango de los vectores directores:

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}-5&2&0\\3&-4&-2\end{pmatrix}=2

ya que \begin{vmatrix}2&0\\-4&-2\end{vmatrix}=-4\neq0.

Ahora calculamos \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{PR}\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}-5&2&0\\3&-4&-2\\-4&3&1\end{pmatrix}:

\begin{vmatrix}-5&2&0\\3&-4&-2\\-4&3&1\end{vmatrix}=20+16-6-30=0

luego \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{PR}\end{pmatrix}=2 y las rectas son secantes, se cortan en un punto.

c) El área del triángulo formado por los puntos P(1,-2,1), Q(-4,0,1) y R(-3,1,2) es:

A=\dfrac{|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|}2

\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-5&2&0\\-4&3&1\end{vmatrix}=2\vec\imath-15\vec k+8\vec k+5\vec\jmath=(2,5,-7)

Luego

A=\dfrac{\sqrt{2^2+5^2+(-7)^2}}2=\dfrac{\sqrt{78}}2\mbox{ u.a.}

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