Problema 395

Se administra una medicina a un enfermo y t horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por c(t)=te^{-t/2} miligramos por mililitro.
Determine el valor máximo de c(t) e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo.
Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.


Solución:

Calculamos los puntos críticos de esta función.

c'(t)=e^{-t/2}+te^{-t/2}\cdot\frac{-1}2=e^{-t/2}(1-\frac t2)=0

ecuación cuya solución es t=2 horas.
Veamos si este punto crítico da lugar a un máximo estudiando la monotonía en un entorno de t=2:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }c'(t)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }c(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Luego se trata de un máximo.

El valor máximo de la concentración es: c(2)=2e^{-2/2}=2/e\approx 0.736\mbox{ mg/ml}, por lo que nunca se alcanzará la concentración de peligro de 1 mg/ml.

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