Problema 396

Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat II,

Dada la función f(x)=\dfrac{x^2+x+6}{x-2} se pide:

a) Determinar su dominio y asíntotas verticales.
b) Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}x.
c) Calcular \displaystyle \int_3^5f(x)~dx.

Solución:

a) El dominio de esta función racional es \mathbb R\smallsetminus\{2\}.

Si esta función tiene asíntota vertical será en x=2. Lo comprobamos:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^2+x+6}{x-2}=\dfrac{12}{0^+}=+\infty
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x^2+x+6}{x-2}=\dfrac{12}{0^-}=-\infty

Por tanto x=2 es una asíntota vertical.

b) Calculamos el límite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2+x+6}{x^2-2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2+x+6}{x^2-2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-x+6}{x^2+2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1

c) Calculamos la integral:

\displaystyle I=\int_3^5\dfrac{x^2+x+6}{x-2}~dx

descomponemos esta fracción en su forma cociente-resto \boxed{\dfrac Dd=C+\dfrac Rd}:

\displaystyle I=\int_3^5x+3~dx+\int_3^5\dfrac{12}{x-2}~dx=\\\\=\left[\dfrac{x^2}2+3x\right]_3^5+[12\ln|x-2|]_3^5=\\\\=\left(\dfrac{25}2+15\right)-\left(\dfrac 92+9\right)+(12\ln(3)-12\ln(1))=\\\\=\dfrac{55}2-\dfrac{27}2+12\ln(3)=14+12\ln(3)

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