Problema 397

Dadas las funciones f(x)=\dfrac 2x y g(x)=\mbox{sen}(x), se pide:

a) Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\left(f(x)-\frac 2{g(x)}\right).
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (\frac 12,4).
c) Calcular el área delimitada por la curva y=f(x) y la recta y=-x+3.


Solución:

a) Calculamos el límite recordando que las indeterminaciones del tipo 0/0 la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac 2x-\frac 2{\mbox{sen}(x)}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2\,\mbox{sen}(x)-2x}{x\,\mbox{sen}(x)}=\dfrac 00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2\cos(x)-2}{\mbox{sen}(x)+x\cos(x)}=\dfrac 00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-2\,\mbox{sen}(x)}{\cos(x)-x\,\mbox{sen}(x)+\cos(x)}=\dfrac 02=0


b) La ecuación de la recta tangente en el punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=\frac 12, luego:

f(\frac 12)=4\\\\f'(x)=\dfrac{-2}{x^2}\longrightarrow f'(\frac 12)=-8

La recta tangente resulta:

y-4=-8(x-\frac 12)~;\\\\y=-8x+4+4~;\\\\y=-8x+8


c) Para calcular el área encerrada por dos gráficas primero hemos de calcular donde se cortan igualando ambas funciones:

\dfrac 2x=-x+3~;\\\\2=-x^2+3x~;\\\\x^2-3x+2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=2.
El área encerrada por ambas funciones es el valor absoluto de la siguiente integral:

\displaystyle \int_1^2\dfrac 2x-(-x+3)~dx=\left[2\ln|x|+\dfrac{x^2}2-3x\right]_1^2=\\\\=\left(2\ln(2)+2-6\right)-\left(2\ln(1)+\dfrac 12-3\right)=\\\\=2\ln(2)-4+\dfrac 52=2\ln(2)-\dfrac 32\approx-0.11

Por tanto el área buscada es A=\dfrac 32-2\ln(2)\mbox{ u.a.}

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