Problema 398

Dadas las matrices

P=\begin{pmatrix}1&2&1\\3&2&2\\2&3&2\end{pmatrix}\qquad J=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}

a) Determinar la matriz P⁻¹, inversa de la matriz P.
b) Determinar la matriz B⁻¹, inversa de la matriz B=P^{-1}J^{-1}.
c) Calcular el determinante de la matriz A², siendo A=PJP^{-1}.


Solución:

a) Para calcular la matriz inversa de otra matriz utilizamos la fórmula:

\boxed{P^{-1}=\dfrac 1{|P|}(\mbox{Adj }P)^t}

|P|=\begin{vmatrix}1&2&1\\3&2&2\\2&3&2\end{vmatrix}=4+8+9-4-12-6=-1

\mbox{Adj }P=\begin{pmatrix}-2&-2&5\\-1&0&1\\2&1&-4\end{pmatrix}

Luego

P^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\2&0&-1\\-5&-1&4\end{pmatrix}


b) Dado que

P^{-1}J^{-1}=(JP)^{-1}=B

entonces

B^{-1}=\left((JP)^{-1}\right)^{-1}=JP

Esto es:

B^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\3&2&2\\2&3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\6&4&4\\2&3&2\end{pmatrix}


c) Calculamos el determinante de A² utilizando las propiedades de los determinantes:

|A|=|PJP^{-1}|\underset{P.3}=|P||J||P^{-1}|\underset{P.4}=|P||J|\dfrac 1{|P|}=|J|=-2

Y por tanto:

|A^2|\underset{P.3}=|A|^2=(-2)^2=4

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