Problema 399

a) Determine la distancia entre las rectas

$r_1\equiv~x=y=z\qquad r_2\equiv\left\{\begin{array}{cc}x+y-1&=0\\x-z+1&=0\end{array}\right.$

b) Obtenga el punto de corte de la recta $s\equiv~x=2-y=z-1$ con el plano perpendicular a s, que pasa por el origen.

Solución:

a) En primer lugar calculamos un punto y un vector de cada recta.
Comenzamos por $r_1$ que al estar en forma continua es sencillo determinar uno de sus puntos y su vector director: $r_1\equiv\left\{\begin{array}{l}P=(0,0,0)\\\vec v_1=(1,1,1)\end{array}\right.$

En el caso de $r_2$ lo mejor es escribir dicha recta en paramétricas, para ello hacemos el cambio z=μ:

$r_2\equiv\left\{\begin{array}{cc}x+y&=1\\x&=-1+\mu\end{array}\right.$

de donde $r_2\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-1+\mu\\y=2-\mu\\z=\mu\end{array}\right.$ y un punto y el vector director de $r_2$ serían: $r_2\equiv\left\{\begin{array}{l}Q=(-1,2,0)\\\vec v_2=(1,-1,1)\end{array}\right.$

Esta claro que ambas rectas no son paralelas ya que se puede demostrar que $\vec v_1$ y $v_2$ son linealmente independientes.

Para calcular la distancia entre estas dos rectas utilizamos la fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan:

$\boxed{d(r_1,r_2)=\dfrac{|[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{PQ}]|}{|\vec v_1\times\vec v_2|}}$

siendo $\overrightarrow{PQ}=(-1,2,0)-(0,0,0)=(-1,2,0)$

$[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{PQ}]=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\-1&2&0\end{vmatrix}=-2$

$\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=\vec\imath+\vec\jmath-\vec k-\vec k-\vec\jmath+\vec\imath=(2,0,-2)$