Problema 399

a) Determine la distancia entre las rectas

r_1\equiv~x=y=z\qquad r_2\equiv\left\{\begin{array}{cc}x+y-1&=0\\x-z+1&=0\end{array}\right.

b) Obtenga el punto de corte de la recta s\equiv~x=2-y=z-1 con el plano perpendicular a s, que pasa por el origen.


Solución:

a) En primer lugar calculamos un punto y un vector de cada recta.
Comenzamos por r_1 que al estar en forma continua es sencillo determinar uno de sus puntos y su vector director: r_1\equiv\left\{\begin{array}{l}P=(0,0,0)\\\vec v_1=(1,1,1)\end{array}\right.

En el caso de r_2 lo mejor es escribir dicha recta en paramétricas, para ello hacemos el cambio z=μ:

r_2\equiv\left\{\begin{array}{cc}x+y&=1\\x&=-1+\mu\end{array}\right.

de donde r_2\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-1+\mu\\y=2-\mu\\z=\mu\end{array}\right. y un punto y el vector director de r_2 serían: r_2\equiv\left\{\begin{array}{l}Q=(-1,2,0)\\\vec v_2=(1,-1,1)\end{array}\right.

Esta claro que ambas rectas no son paralelas ya que se puede demostrar que \vec v_1 y v_2 son linealmente independientes.

Para calcular la distancia entre estas dos rectas utilizamos la fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan:

\boxed{d(r_1,r_2)=\dfrac{|[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{PQ}]|}{|\vec v_1\times\vec v_2|}}

siendo \overrightarrow{PQ}=(-1,2,0)-(0,0,0)=(-1,2,0)

[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{PQ}]=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\-1&2&0\end{vmatrix}=-2

\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=\vec\imath+\vec\jmath-\vec k-\vec k-\vec\jmath+\vec\imath=(2,0,-2)

luego

d(r_1,r_2)=\dfrac{|-2|}{\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt 8}=\dfrac{\sqrt 2}2\mbox{ u.l.}


b) De la recta s obtenemos un punto y su vector director: s\equiv\left\{\begin{array}{l}A=(0,2,1)\\\vec v_s=(1,-1,1)\end{array}\right.

Queremos un plano π perpendicular a ese, por tanto π tendrá la forma

\pi\equiv~x-y+z+D=0

además este plano ha de pasar por el origen de coordenadas O(0,0,0), luego

0-0+0+D=0

de donde D=0 y el plano π es por tanto, \pi\equiv~x-y+z=0.

Ahora calculamos donde este plano corta con la recta s, para ello escribimos dicha recta en paramétricas:

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2-\lambda\\z=1+\lambda\end{array}\right.

y sustituimos estas paramétricas en la implícita del plano.

\lambda-(2-\lambda)+1+\lambda=0~;\\\\3\lambda=1~;\\\\\lambda=\frac 13

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s, obtenemos la intersección de s y π:

B=s\cap\pi=(\frac 13,\frac 53,\frac 43)

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