Problema 401

Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}xe^{2x}&\mbox{si}&x<0\\\\\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}&\mbox{si}&x\geq 0\end{array}\right.

donde ln significa logaritmo neperiano, se pide:

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en x=0.
b) Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) y \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x).
c) Calcular \displaystyle \int_{-1}^0f(x)~dx.


Solución:

a) Continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\dfrac 01=0\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow0^+}xe^{2x}=0\\\\\bullet~f(0)=\dfrac{\ln(1)}1=0

luego esta función es continua en x=0.

Derivabilidad en x=0:
Comenzamos escribiendo la función derivada de f

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+2xe^{2x}&\mbox{si}&x<0\\\\\dfrac{\frac1{x+1}(x+1)-\ln(x+1)}{(x+1)^2}&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.\\\\f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}(1+2x)&\mbox{si}&x<0\\\\\dfrac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}=1\\\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}e^{2x}(1+2x)=1

por tanto, f es derivable en x=0.


b) Las indeterminaciones del tipo ∞/∞ la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital.

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{2x}=\infty\cdot0=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x}{e^{-2x}}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{-2e^{-2x}}=\dfrac1{-\infty}=0

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\frac{1}{x+1}}1=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{x+1}=0


c) Calculamos \displaystyle \int_{-1}^0xe^{2x}~dx utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=e^{2x}~dx&\longrightarrow&v=\dfrac{e^{2x}}2\end{array}

Luego

\displaystyle \int_{-1}^0xe^{2x}~dx=\left.\dfrac{xe^{2x}}2\right|_{-1}^0-\int_{-1}^0\dfrac{e^{2x}}2~dx=\\\\=\left(0-\dfrac{-e^{-2}}2\right)-\left.\dfrac{e^{2x}}4\right|_{-1}^0=\dfrac1{2e^2}-\left(\dfrac{e^0}4-\dfrac{e^{-2}}4\right)=\\\\=\dfrac1{2e^2}-\dfrac14+\dfrac1{4e^2}=\dfrac{2-e^2+1}{4e^2}=\dfrac{3-e^2}{4e^2}\approx-0.148

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