Problema 402

Dadas las rectas

$r_1\equiv\left\{\begin{array}{c}6x-y-z=1\\2x-y+z=1\end{array}\right.\qquad r_2\equiv\left\{\begin{array}{c}3x-5y-2z=3\\3x+y+4z=3\end{array}\right.$

se pide:

a) Estudiar la posición relativa de $r_1$ y $r_2$ .
b) Calcular la distancia entre las dos rectas.
c) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y al punto P(1,2,3).

Solución:

a) Comenzamos por escribir las dos rectas en paramétricas según se explica aquí. Para la primera recta hacemos el cambio $x=\lambda$ y para la segunda recta el cambio $z=\mu$ :

$r_1\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-1+4\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.\qquad r_2\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1-\mu\\y=-\mu\\z=\mu\end{array}\right.$

Obtenemos un punto y el vector director de cada recta a partir de las paramétricas:

$r_1\left\{\begin{array}{l}P_1=(0,-1,0)\\\vec v_1=(1,4,2)\end{array}\right.\qquad r_2\left\{\begin{array}{l}P_2=(1,0,0)\\\vec v_2=(-1,-1,1)\end{array}\right.$

Para estudiar la posición relativa, como se explica aquí, calculamos $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_1\\\vec v_2\end{pmatrix}$

$\mbox{rg}\begin{pmatrix}1&4&2\\-1&-1&1\end{pmatrix}=2$

ya que $\begin{vmatrix}1&4\\-1&-1\end{vmatrix}=3\neq0$ .

Calculamos $\overrightarrow{P_1P_2}=(1,0,0)-(0,-1,0)=(1,1,0).$
Ahora calculamos $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_1\\\vec v_2\\\overrightarrow{P_1P_2}\end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix}1&4&2\\-1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=4-2+2-1\neq0$

por lo que $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_1\\\vec v_2\\\overrightarrow{P_1P_2}\end{pmatrix}=3$

Por tanto, ambas rectas se cruzan sin cortarse.

b) La fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan es:

$\boxed{d(r_1,r_2)=\dfrac{|[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{P_1P_2}]|}{|\vec v_1\times\vec v_2|}}$

$[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{P_1P_2}]=\begin{vmatrix}1&4&2\\-1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=4-2+2-1=3$

$\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&4&2\\-1&-1&1\end{vmatrix}=4\vec\imath-2\vec\jmath-\vec k+4\vec k-\vec\jmath+2\vec\imath=(6,-3,3)$

luego

$d(r_1,r_2)=\dfrac{|3|}{\sqrt{6^2+(-3)^2+3^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{54}}=\dfrac{\sqrt6}6\mbox{ u.l.}$

c) El plano buscado es $\pi\equiv\left\{\begin{array}{l}P=(1,2,3)\\\vec v_1=(1,4,2)\\\overrightarrow{PP_1}=(1,2,3)-(0,-1,0)=(1,3,3)\end{array}\right.$