Problema 403

p403

Se dispone de tres aleaciones A, B y C que contienen, entre otros metales, oro y plata en las proporciones indicadas en la tabla adjunta.

Se quiere obtener un lingote de 25 gramos, con una proporción del 72% de oro y una proporción del 16% de plata, tomando x gramos de A, y gramos de B y z gramos de C. Determínese las cantidades x, y, z.


Solución:

Definimos x, y, z como los gramos de aleación del tipo A, B y C.
Se desea obtener un lingote de 25 gramos, es decir:

x+y+z=25

Este lingote debe tener una proporción del 72% de oro, es decir (utilizando la tabla del enunciado):

1.00\cdot x+0.75\cdot y+0.60\cdot z=0.72\cdot 25

También debe tener una proporción del 16% de plata:

0\cdot x+0.15\cdot y+0.22\cdot z=0.16\cdot 25

Con estas tres ecuaciones formamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&25\\x&+&0.75y&+&0.6z&=&18\\&&0.15y&+&0.22z&=&4\end{array}\right.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

|M|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0.75&0.6\\0&0.15&0.22\end{vmatrix}=0.005

Al ser este determinante distinto de 0, el sistema es compatible determinado.
Resolvemos este sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}25&1&1\\18&0.75&0.6\\4&0.15&0.22\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0.75&0.6\\0&0.15&0.22\end{vmatrix}}=\dfrac{0.015}{0.005}=3

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&25&1\\1&18&0.6\\0&4&0.22\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0.75&0.6\\0&0.15&0.22\end{vmatrix}}=\dfrac{0.06}{0.005}=12

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&25\\1&0.75&18\\0&0.15&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0.75&0.6\\0&0.15&0.22\end{vmatrix}}=\dfrac{0.05}{0.005}=10

Es decir, el lingote estaría formado por 3 gramos de aleación A, de 12 gramos de aleación B y de 10 gramos de aleación C.

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