Problema 404

Dados dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que P[A]=\frac 49,\,P[B]=\frac 12 y P[A\cup B]=\frac 23, se pide:

a) Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no.
b) Calcular P[\overline A/B], donde \overline A denota el suceso complementario de A.


Solución:

a) Dos sucesos A y B se dicen que son independientes si

\boxed{P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]}

Calculamos la probabilidad e la intersección:

\boxed{P[A\cap B]=P[A]+P[B]-P[A\cup B]}=\dfrac 49+\dfrac 12-\dfrac 23=\dfrac{8+9-12}{18}=\dfrac5{18}

Y ahora:

P[A]\cdot P[B]=\dfrac 49\cdot\dfrac 12=\dfrac 4{18}

Vemos que estos dos resultados no son iguales, luego los sucesos A y B no son independientes.


b) Nos piden calcular P[\overline A/B].
Utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada, sabemos que:

P[\overline A/B]=\dfrac{P[\overline A\cap B]}{P[B]}

donde P[\overline A\cap B]=P[B]-P[A\cap B], luego

P[\overline A/B]=\dfrac{P[B]-P[A\cap B]}{P[B]}=\dfrac{\frac12-\frac5{18}}{\frac 12}=\dfrac{\frac{9-5}{18}}{\frac 12}=\dfrac{8}{18}=\dfrac 49

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