Problema 405

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\qquad I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

se pide:

a) Calcular la matriz B=(A-I)(2I+2A).
b) Determinar el rango de las matrices A-I,\,A^2-I\mbox{ y }A^3-I.
c) Calcular la matriz inversa de A⁶, en caso de que exista.


Solución:

a) Calcular la matriz B=(A-I)(2I+2A).

B=(A-I)(2I+2A)=2(A-I)(A+I)=2(A^2+A-A-I^2)=2(A^2-I)

A^2=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

A^2-I=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

luego

B=2(A^2-I)=\begin{pmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}


b) Determinar el rango de las matrices A-I,\,A^2-I\mbox{ y }A^3-I.

A-I=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}

|A-I|=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\0&1&-1\end{vmatrix}=1-1=0\\\\\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1\neq0

Luego el rango de AI es 2.

El rango de A^2-I=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} es 1 ya que solo tiene una fila o columna linealmente independiente.

A^3=A^2A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}

A^3-I=\begin{pmatrix}8&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&0&0\\0&-1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}

Cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}7&0\\0&-1\end{vmatrix}=-7\neq0 y la tercera fila es opuesta a la segunda.


c) Calcular la matriz inversa de A⁶, en caso de que exista.

A^6=A^3A^3=\begin{pmatrix}8&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}64&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

que sí tiene inversa ya que su determinante es |A^6|=64.
La inversa de esta matriz A⁶:

\boxed{(A^6)^{-1}=\dfrac 1{|A^6|}(\mbox{Adj}A^6)^t}

\mbox{Adj}A^6=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&64&0\\0&0&64\end{pmatrix}

de donde

(A^6)^{-1}=\dfrac 1{64}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&64&0\\0&0&64\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1{64}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s