Se considera la función y se pide:

a) Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=0.
b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales y verticales de la función f y, en su caso, determinarlas.
c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus extremos relativos en el caso de que existan.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto es:

luego la recta tangente es:

b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales y verticales de la función f y, en su caso, determinarlas.

Recordamos que las indeterminaciones del tipo ∞/∞ las resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital.

• Asíntotas verticales no tiene ya que f es el cociente de dos funciones continuas en y el denominador nunca se hace 0. El dominio de f es todo donde es continua.
• Asíntotas horizontales:
  
  Cuando x→+∞ la función f se aproxima asintóticamente a la recta y=0.
  
  Cuando x→-∞ la función f no tiene asíntota horizontal.

c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus extremos relativos en el caso de que existan.

Para estudiar la monotonía de una función comenzamos por calcular sus puntos críticos:

ecuación cuya única solución es x=-1.

Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla:

es decir:

• f decrece (-∞,-1)∪(-1,+∞)
• No tiene máximos ni mínimos.

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