Problema 406

Se considera la función f(x)=\dfrac{e^{-x}}{x^2+1} y se pide:

a) Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto de abscisa x=0.
b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales y verticales de la función f y, en su caso, determinarlas.
c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus extremos relativos en el caso de que existan.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

x_0=0~;\\\\f(0)=\dfrac 11=1~;\\\\f'(x)=\dfrac{-e^{-x}(x^2+1)-e^{-x}2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^{-x}(-x^2-2x-1)}{(x^2+1)^2}~;\\\\f'(0)=\dfrac{-1}1=-1

luego la recta tangente es:

y-1=-1\cdot(x-0)~;\\\\y=-x+1


b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales y verticales de la función f y, en su caso, determinarlas.

Recordamos que las indeterminaciones del tipo ∞/∞ las resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital.

  • Asíntotas verticales no tiene ya que f es el cociente de dos funciones continuas en \mathbb R y el denominador nunca se hace 0. El dominio de f es todo \mathbb R donde es continua.
  • Asíntotas horizontales:
    \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^{-x}}{x^2+1}=\dfrac0{\infty}=0
    Cuando x→+∞ la función f se aproxima asintóticamente a la recta y=0.
    \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^{-x}}{x^2+1}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\dfrac{-e^-x}{2x}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\dfrac{e^{-x}}2=+\infty
    Cuando x→-∞ la función f no tiene asíntota horizontal.

c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus extremos relativos en el caso de que existan.

Para estudiar la monotonía de una función comenzamos por calcular sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{e^{-x}(-x^2-2x-1)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-e^{-x}(x+1)^2}{(x^2+1)^2}=0

ecuación cuya única solución es x=-1.

Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

es decir:

  • f decrece (-∞,-1)∪(-1,+∞)
  • No tiene máximos ni mínimos.

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